《月微分方程模型》PPT课件

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1、1．线密度设细棒的质量与棒的长度（已经在细棒上建立了轴）的关系为则表示细棒上一小段的平均密度，那么细棒在点的线密度可定义为即例3某快餐公司在某地区已有40个营业点，每个营业点平均每天营业额为1万元。经调查发现：每开一个新营业点将会使所有各点的每天的营业额减少200元，试问：该公司总共要开多少个营业点，才能使公司收入最多？5.1微分方程的建立实际问题需寻求某个变量y随另一变量t的变化规律：y=y(t).直接求很困难建立关于未知变量、未知变量的导数以及自变量的方程建立变量能满足的微分方程？哪一类问题在工程实际问题中*“改变”、“变化”、“增加”、“减少”

2、等关键词提示我们注意什么量在变化.关键词:“速率”、“增长”、“衰变”、“边际的”.建立方法常用微分方程运用已知物理定律利用平衡与增长式运用微元法应用分析法机理分析法一、微分方程模型建模步骤（1）建模步骤（2）关于建模步骤的例子（3）建立微分方程的其他方法1、建模步骤(1)1、翻译或转化：在实际问题中许多表示导数的常用词，如“速率”、‘增长”(在生物学以及人口问题研究中)，“衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在经济学中)等．2、建立瞬时表达式：根据自变量有微小改变△t时，因变量的增量△W，建立起在时段△t上的增量表达式，令△t→0，即得到的表达式

3、．建模步骤(2)3、配备物理单位：在建模中应注意每一顷采用同样的物理单位．4、确定条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。建立微分方程模型时应用已知物理定律，可事半功倍例5.1.1一个较热的物体置于室温为180c的房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后降到500c.想知道它的温度降到300c需要多少时间？10分钟以后它的温度是多少？牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体放入处于常温m的介质中时，T的变化速率正比于T与

4、周围介质的温度差.一.运用已知物理定律分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似。建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t≥0，“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差”翻译为数学语言建立微分方程其中参数k>0，m=18.求得一般解为ln(T－m)=－kt+c,代入条件，求得c=42，k=－,最后得T(t)=18+42,t≥0.破案受害者的尸体于晚上19:30发现，法医于20:20赶到凶案现场，测得尸体温度为32.6摄氏度。一小时后，当尸体即将被抬走时，测得

5、尸体温度为31.4摄氏度，室温在几小时内始终保持在21.1摄氏度。此案的最大嫌疑犯是张某，但张某声称自己是无罪的，并有证人说：下午张某一直在办公室上班，17:00时打了一个电话，打完电话就离开了办公室。从张某的办公室到凶案现场需步行5分钟，问：(1)张某是嫌疑犯吗？(2)若张某的律师发现受害者死亡的当天下午去医院看过病，病历记录：发烧38.3摄氏度。试问：张某能排除在嫌疑犯之外吗？设t时刻尸体温度为T(t)，则为了便于计算，再设20:20时刻为0时刻，一小时后为1时刻，可解得C=11.5，k=0.11，即(1)当体温为37摄氏度时，可得死亡时间为17:2

6、3，张某是嫌疑犯。(2)若发高烧38.3摄氏度，可得死亡时间为16:40，则可排除张某嫌疑犯。目前，欧债美债危机使大家对经济的发展前景十分担忧。一个国家债务过多，其所需支付的利息超过了该国的国民收入时，该国会出现破产。那么持续财政赤字的国家会出现破产这个现象吗？国民收入与国家债务问题能否转化为微分方程去进行分析呢？收入与债务的问题利用微分方程可以很好地体现一个国家的国民收入与其债务问题。赤字定义:为一个等于支出减去收入的正值假定所有变量都以实际美元标价，从而去掉通货膨胀因素。假定赤字为任何时点国民收入的常数比例。令D(t)表示国债在时刻t的美元价值Y(t

7、)表示时刻t国民收入。假定D(t)=bY(t),b>0（一般,许多国家的b值介于0.02和0.08之间，这意味着赤字大约相当于国民收入的2%~8%）假定国民收入随时间的增长满足如下微分方程：Y=gY,g为正常数（表示国民收入的增长率）。国债积累模型假定利息率为常数r，则利息支付rD(t).定义z(t)=rD(t)/Y(t)为偿付国债利息所吸收的国民收入份额.国债的利息支付收敛到国民收入的一个固定比例rb/g。如果rb/g＜1，那么即便政府一直实行不断增长的国民收入的固定比例的预算赤字，最终的债务负担也会收敛到国民收入的一个固定份额。这会是一个好消息，因为

8、这意味着经济总是能够满足债务的偿付，破产永远都不会发生。另一方面，如果rb/g＞