《课微分方程模型》PPT课件

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1、数学建模培训课（三）——微分方程模型1.传染病模型2.药物在体内的分布与排除动态模型描述对象特征随时间(空间)的演变过程分析对象特征的变化规律预报对象特征的未来性态研究控制对象特征的手段根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分方程建模根据建模目的和问题分析作出简化假设按照内在规律或用类比法建立微分方程5.1传染病模型不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清楚这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播机理建立几种模型。问题描述传染病的传播过程分析受

2、感染人数的变化规律预报传染病高潮到来的时刻预防传染病蔓延的手段按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型在最简单的模型中，假设病人数(已感染人数)i(t)是连续、可微函数每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1假设若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?模型2区分已感染者(病人Infective)和未感染者(健康人susceptible)假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病建模~日接

3、触率SI模型模型21/2tmii010ttm~传染病高潮到来时刻(日接触率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS模型3）病人每天治愈的比例为~日治愈率建模~日接触率1/~感染期~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。模型3i0i0接触数=1~阈值感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10

4、ti>11-1/i0t1di/dt<0模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者removedSIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为2）病人的日接触率,日治愈率,接触数=/建模需建立的两个方程模型4SIR模型无法求出的解析解在相平面上研究解的性质模型4消去dtSIR模型相轨线的定义域相轨线11si0D在D内作相轨线的图形，进行分析si101D模型4SIR模型相轨线及其分析传染病蔓延传染病不蔓延s(t)单调减相轨线的方向P1s0imP3P4P2S0P

5、1:i(t)先升后降至0P2:i(t)单调降至0阈值模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水平(日治愈率)医疗水平传染病不蔓延的条件——s0<1/的估计降低s0提高r0提高阈值1/降低(=/),群体免疫模型4SIR模型被传染人数的估计记被传染人数比例x<

6、给药方案设计药物在体内吸收、分布和排除过程——药物动力学建立房室模型——药物动力学的基本步骤房室——机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移本节讨论二室模型——中心室(心、肺、肾等)和周边室(四肢、肌肉等)中心室周边室给药排除模型假设中心室(1)和周边室(2),容积不变药物在房室间转移速率及向体外排除速率，与该室血药浓度成正比药物从体外进入中心室，在二室间相互转移,从中心室排出体外模型建立线性常系数非齐次方程对应齐次方程通解模型建立几种常见的给药方式1.快速静脉注射t=

7、0瞬时注射剂量D0的药物进入中心室,血药浓度立即为D0/V1给药速率f0(t)和初始条件2.恒速静脉滴注t>T,c1(t)和c2(t)按指数规律趋于零药物以速率k0进入中心室0Tt££吸收室中心室3.口服或肌肉注射相当于药物(剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室吸收室药量x0(t)参数估计各种给药方式下的c1(t),c2(t)取决于参数k12,k21,k13,V1,V2t=0快速静脉注射D0,在ti(i=1,2,n)测得c1(ti)由较大的用最小二乘法定A,由较小的用最小二乘法定B,参数估计进入中心

8、室的药物全部排除