数理金融学第4章ROSS套利定价模型

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1、数理金融学第4章ROSS套利定价模型4.1概述资本资产定价模型提示了在资本市场均衡状态下证券期望收益率与风险之间的关系，简洁、明确地回答了证券风险的合理度量问题以及证券如何在资本市场上被定价。资本资产定价模型也存在一些缺陷。其中最主要的一点是缺乏经验验证的有力支持。CAPM与APT建立在均值-方差分析基础上的CAPM是一种理论上相当完美的模型，但实际上只有理论意义，因为假设条件太多、太严格！除CAPM理论外，另一种重要的定价理论是由StephenRoss在1976年建立的套利定价理论（Arbitragepricingtheory，APT），从另一个角度探讨了资产的定

2、价问题。市场均衡条件下的最优投资组合理论=CAPM无套利假定下因子模型=APTCAPM是建立在一系列假设之上的非常理想化的模型，这些假设包括HarryMarkowitz建立均值-方差模型时所作的假设。这其中最关键的假设是同质性假设。相反，APT所作的假设少得多。APT的基本假设之一是：个体是非满足，而不需要风险规避的假设！每个人都会利用套利机会：在不增加风险的前提下提高回报率。只要一个人套利，市场就会出现均衡！套利是指利用同一资产在不同市场上或不同资产在同一市场上存在的价格差异，通过低买高卖而获取利润的行为。无风险套利只要投资者发现这种机会，他就会力图通过在两个市场

3、上不断地低买高卖，以实现套利收益的巨额增加。但另一方面，在套利者进行买卖的同时，两个市场上对同种证券的供需会发生变化，当何等的上升与下降调整到使套利机会不再存在时，套利者就会结束其套利行为。价格同一律当套利机会出现时，投资者会通过低买高卖赚取差价，这时，使套利机会存在的那些证券，它的定价是不合理的。由于套利者利用他们进行套利，因此市场上对这些证券的需求与供给就处于非均衡状态。相应地，这些证券的价格就为非均衡价格。在套利者不断套利的过程中，这些证券的价格会随供需的变化而发生上升或下跌。当达到某种水平使套利机会不再存在时，套利者的套利行为就会终止，市场将处于均衡状态，各

4、种证券的定价就处于合理水平。当市场经过一系列调整达到均衡时，各种证券交易的价格都处于合理水平，在这种状态下，不存在任何套利机会。这就是套利与均衡的关系，它是资本市场理论的一个基本论点。当市场不存在任何无风险套利机会或者说市场处于均衡状态时，各种证券及证券组合应如何合理定价？它们的期望收益率与风险之间存在什么关系，这些问题正是套利定价理论所要回答的。4.2因子模型（Factormodel）定义：因子模型是一种假设证券的回报率只与不同的因子波动（相对数）或者指标的运动有关的经济模型。因子模型是APT的基础，其目的是找出这些因素并确认证券收益率对这些因素变动的敏感度。依据

5、因子的数量，可以分为单因子模型和多因子模型。4.2.1单因子模型引子若把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏观经济指数。假设：（1）证券的回报率仅仅取决于该指数的变化；（2）除此以外的因素是公司特有风险——残余风险则可以建立以宏观经济指数变化为自变量，以证券回报率为因变量的单因子模型。例如，GDP的预期增长率是影响证券回报率的主要因素。例1：设证券回报仅仅与市场因子回报有关其中=在给定的时间t，证券i的回报率=在同一时间区间，市场因子m的相对数=截距项=证券i对因素m的敏感度=随机误差项，因子模型回归年份IGDPt（%）股票A收益率（%）15.714.326.41

6、9.238.923.448.015.655.19.262.913.04%图中，横轴表示GDP的增长率，纵轴表示股票A的回报率。图上的每一点表示：在给定的年份，股票A的回报率与GDP增长率。通过线性回归，我们得到一条符合这些点的直线为（极大似然估计）从这个例子可以看出，A在任何一期的回报率包含了三种成份：1.在任何一期都相同的部分a2.依赖于GDP的预期增长率，每一期都不相同的部分b×IGDPt3.属于特定一期的特殊部分et。通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的一般形式：对时间t的任何证券i有时间序列其中：ft是t时期公共因子的预测值；rit在时期t证券i的回报

7、；eit在时期t证券i的特有回报ai零因子bi证券i对公共因子f的敏感度(sensitivity),或因子载荷（factorloading）（8.1）为简单计，只考虑在某个特定的时间的因子模型，从而省掉角标t，从而（8.1）式变为并且假设（8.2）假设(1)：因子f具体取什么值对随机项没有影响，即因子f与随机项是独立的，这样保证了因子f是回报率的唯一因素。若不独立，结果是什么？假设(2)：一种证券的随机项对其余任何证券的随机项没有影响，换言之，两种证券之所以相关，是由于它们具有共同因子f所致。如果上述假设不成立，则单因子模型不准确，应该考虑增加因子或者其他措施。