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1、抛物线定义及性质期末复习专用平面内到一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。一、定义oLF注：如果定点F在定直线l上，所求的轨迹是？▲定点F叫做抛物线的焦点。▲定直线l叫做抛物线的准线过定点F垂直于直线l的一条直线x求标准方程··FMlN如何建立直角坐标系？想一想设︱KF︱=p则F（，0），l：x=-p2p2设动点M的坐标为（x，y），由定义可知，化简得y2=2px（p＞0）xyo··FMlNK过F做直线FK垂直于直线l，垂足为K。以直线KF为x轴，线段KF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy。方程y2
2、=2px（p＞0）叫做抛物线的标准方程。其中p为正常数，它的几何意义是:焦点到准线的距离yxo﹒﹒yxoyxo﹒yxo﹒图形焦点准线标准方程例1求下列抛物线的焦点坐标和准线.1、2、练习1求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：.例2根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)焦点是F(0,-2)；(2)准线方程是；(3)焦点到准线的距离是2.(2)抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是___________；例3(1)抛物线上一点M到焦点的距离是,则点M到准线的距离是________,点M的横坐标是_____.a如图,M点是抛物线上一点,F
3、是抛物线的焦点,以Fx为始边,FM为终边的角,求.练习24例4.点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.分析：如图可知原条件等价于M点到F（4，0）和到x＝－4距离相等，-4由抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点，x＝－4为准线的抛物线．所求方程是y2＝16x．二、抛物线的性质抛物线的几何性质：(p＞0)它在轴的右边，向右上方和右下方无限伸展。1、抛物线的范围2、抛物线的对称性：关于轴对称这条对称轴叫抛物线的轴注意：抛物线只有一条对称轴；没有对称中心.FOxy3、抛物线的顶点：抛物线
4、和轴的交点。原点O（0，0）4、抛物线的离心率y2=2px离心率都是1图形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R(0,0)x轴y轴1例题与练习：例1、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2,-2)，求它的标准方程，并用描点法画出图形。因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点,),因为点M在抛物线上，所以即因此所求方程是解：并且经过点M(2,-2所以抛
5、物线开口向右，可设它的标准方程为：Oxy...引申.顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点M(2,)的抛物线有几条,求它的标准方程,当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=ax(a≠0)(x2=by(b≠0)),可避免讨论例3：一条隧道的顶部的纵截面是抛物拱形，拱高是2米，跨度是4米，求拱形的抛物线方程。如图，建立直角坐标系，可设抛物线的方程为：解：(p＞0)由已知条件，可知抛物线经过点（2，-2），所以有：解得：所以拱形的抛物线方程为：（-2，-2）（2，-2）-22Oxy..2、通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物
6、线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。
7、PF
8、=x0+p/2xOyFP通径的长度：2PP越大,开口越开阔3、焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦半径公式。例1、斜率为1的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。8例2、已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点。（1）是否为定值？呢？（2）是否为定值？xOyFAB这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动.巩固练习1.已知M为抛物线上一动点，F为抛物线的焦点，定点P(3,1)
9、,则的最小值为（）(A)3(B)4(C)5(D)62.过点(0,2)与抛物线只有一个公共点的直线有（）（A）1条(B)2条(C)3条(D)无数多条BCM.N.M.P.P5、在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线Ｌ：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离。分析：抛物线上到直线Ｌ距离最短的点，是和此直线平行的切线的切点。yxy2=64x4x+3y+46=0解：∵无实根∴直线与抛物线相离设与4x+3y+46=0平行且与y2=64x相切的直线方程为y=-4/3x+bL·P则由y=-4/3x+by2=64x消x化简得 y2+48y-48
10、b=0△=482-4×(-48b)=0∴b=-12∴切线方程为：y=-4/3x-12y=-4/3x-12y2=64x解方程组得x=9y=-24∴切点为P（9，-24）切点P到Ｌ的距离d=∴抛物线y2=64x到直线Ｌ：4x+3y+46=
