2019-2020学年高二数学下学期期中试题 文(含解析) (IV)

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2019-2020学年高二数学下学期期中试题文(含解析)(IV)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.1.若a，b是任意实数，且a>b，则下列不等式成立的是(　　)A.a2>b2B.C.lg(a－b)>0D.(【答案】D【解析】试题分析：A中不成立，B中不成立，C中不成立，D中由指数函数单调性可知是成立的考点：不等式性质2.2.将参数方程(θ为参数)化为普通方程是(　　)A.y＝x－2B.y＝x＋2C.y＝x－2(2≤x≤3)D.y＝x＋2(0≤y≤1)【答案】C【解析】分析：先根据代入消元法消参数，再根据三角函数有界性确定范围.详解：因为，所以y＝x－2，因为，所以2≤x≤3,因此选C.点睛：1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．3.3.设a、b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a0,则+的最小值为　　　　.【答案】【解析】由a+b=2,b>0. 则+=+=++,由a≠0,若a>0,则原式=++≥+2=.当且仅当b=2a=时,等号成立.若a<0,则原式=---≥-+2=.当且仅当b=-2a即a=-2,b=4时等号成立.综上得当a=-2,b=4时,+取最小值.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤).17.将下列参数方程化为普通方程：（1）（为参数）；（2）（为参数）.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）分别分离处参数中的，根据同角三角函数的基本关系式，即可消去参数得到普通方程；（2）由参数方程中求出，代入整理即可得到其普通方程.试题解析：（1）∵，∴，两边平方相加，得，即.（2）∵，∴由代入，得，∴.考点：曲线的参数方程与普通方程的互化.18.18.曲线C1的参数方程为(θ为参数),将曲线C1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标伸长为原来的倍,得到曲线C2.以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l:ρ(cosθ-2sinθ)=6.(1)求曲线C2和直线l的普通方程.(2)P为曲线C2上任意一点,求点P到直线l的距离的最值.【答案】(1)=1,x-2y-6=0.(2)点P到直线l的距离的最大值为2,最小值为. 【解析】【分析】（1）先根据变换得到，再利用把直线的极坐标方程改成直角方程.（2）利用的参数方程为设出动点，再利用点到直线的距离公式得到距离的表达式后可得其最大值和最小值.【详解】(1)由题意可得的参数方程为(为参数)，即.直线化为直角坐标方程为.(2)设点，由点到直线的距离公式得点到直线的距离为因为，故而.【点睛】一般地，当点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用含参数的代数式表示动点的横纵坐标.比如，动点在椭圆，可设动点为，又如动点在双曲线，可设动点为.19.19.已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l经过定点P(3,5),倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程.(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值.【答案】(1),x2+y2-2x-4y-11=0.(2)3.【解析】【分析】（1）利用公式写出直线的参数方程.再利用平方消元法消去曲线的参数可得曲线的直角方程.（2）利用直线参数方程中参数的几何意义把归结为，其中是把直线的参数方程代入曲线后得到的关于参数的方程的两个根.【详解】(1)由曲线的参数方程(为参数)，得普通方程为，即.直线经过定点，倾斜角为,直线的参数方程为(是参数).(2)将直线的参数方程代入，整理得，设方程的两根分别为，则， 因为直线与曲线相交于两点,所以.【点睛】如果直线的参数方程是（是参数且，是直线的倾斜角），那么表示与之间的距离．因此，在参数方程中，针对直线上的动点到定点的距离和、积或差等问题（动点和定点都在该直线上），可用直线的参数方程结合韦达定理来考虑．20.20.已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝2.(1)求证：ab＋bc＋ac≤；(2)若a，b，c都小于1，求a2＋b2＋c2的取值范围．【答案】(1)见解析.(2).【解析】【分析】（1）可变形为，利用基本不等式可证．（2）可变形为，利用基本不等式可以得到，再根据，，可以得到，，，从而，故可求所需范围．【详解】（1）证明：∵，∴，又，所以，故，也就是．(2)解：由题意可知，，∴，也就是，当且仅当时取等号，∴．∵，∴.同理，.∴，∴，∴的取值范围为.【点睛】基本不等式有如下变形：（1）（）；（2）；上述不等式体现了代数式和与积两种形式之间的转化，解题中注意对代数式和或积的结构分析. 21.21.已知曲线：，直线：（为参数）.（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（2）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.【答案】（1）曲线Ｃ的参数方程为为参数）；直线的普通方程为2x+y-6=0.（2）最大值为；最小值为．【解析】试题分析：（1）由平方关系和曲线方程写出曲线的参数方程，消去参数作可得直线的普通方程；（2）由曲线的参数方程设曲线上任意一点的坐标，利用点到直线的距离公式求出点直线的距离，利用正弦函数求出，利用辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质求出的最大值与最小值．试题解析：（1）曲线的参数方程为，（为参数），直线的普通方程为．（2）曲线上任意一点到的距离为．则，其中为锐角，且，当时，取得最大值，最大值为．当时，取得最小值，最小值为．考点：1、三角函数的最值；2、椭圆的参数方程及直线的的参数方程．22.22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2（1）求C2的方程（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.【答案】（1）（为参数）（2）【解析】（I）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以即从而的参数方程为（为参数）（2）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为。所以.