2019-2020年高中数学北师大版选修4-1同步配套教学案：第一章 §3 圆与四边形

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1、2019-2020年高中数学北师大版选修4-1同步配套教学案：第一章§3圆与四边形1．圆内接四边形的性质定理文字语言符号语言图形语言性质定理圆内接四边形的对角互补若四边形ABCD内接于圆O，则有∠A＋∠C＝∠B＋∠D＝180°推论圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角.四边形ABCD内接于⊙O，E为AB延长线上一点，则有∠CBE＝∠D2．四点共圆的判定定理文字语言符号语言图形语言判定定理如果一个四边形的内对角互补，那么这个四边形四个顶点共圆在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°或∠A＋∠C＝180°，那么四边形ABCD内接于圆推论如果四边形的一个外角等于其内对角，那么这个四边形的四个顶

2、点共圆在四边形ABCD中，延长AB到E.若∠CBE＝∠D，则A，B，C，D共圆由圆内接四边形的性质定理知，圆的内接平行四边形、菱形、梯形分别是什么图形？提示：矩形、正方形、等腰梯形[对应学生用书P27]证明四点共圆[例1]　如图所示，在△ABC中，AB＝AC，延长CA到P，再延长AB到Q，使得AP＝BQ.求证：△ABC的外心O与A，P，Q四点共圆．[思路点拨]　本题主要考查四点共圆的判断．解题时，先连接OA，OC，OP，OQ，PQ.要证O，A，P，Q四点共圆，只需证∠CAO＝∠OQP即可，为此只要证△CPO≌△AQO即可．[精解详析]　如图，连接OA，OC，OP，OQ，PQ.在△OCP和△

3、OAQ中，OC＝OA，∴∠OCP＝∠OAC.由已知CA＝AB，AP＝BQ，∴CP＝AQ.又O是等腰△ABC的外心且AB＝AC，∴∠OAC＝∠OAQ，∴∠OCP＝∠OAQ.∴△OCP≌△OAQ.∴∠APO＝∠AQO，OP＝OQ.∴∠OPQ＝∠OQP.∴∠CAO＝∠BAC＝(∠APQ＋∠PQA)＝(∠OPQ＋∠APO＋∠OQP－∠AQO)＝×2∠OQP＝∠OQP.∴O，A，P，Q四点共圆．判定四点共圆的方法：(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆．(2)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点

4、共圆．(4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆．(因为四个顶点与斜边中点距离相等)1．在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F是垂足．求证：E，B，C，F四点共圆．证明：如图，连接EF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴A，E，D，F四点共圆．∴∠1＝∠2.∴∠1＋∠C＝∠2＋∠C＝90°.∴∠BEF＋∠C＝180°.∴B，E，F，C四点共圆.证明线段相等或角相等[例2]　如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：∠DEA＝∠DFA.[思路点拨]　本题主要考查圆内接四边形判定及性质的应用．

5、解题时，只需证A，D，E，F四点共圆后可得结论．[精解详析]　连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB＝90°.又EF⊥AB，∠EFA＝90°，所以A，D，E，F四点共圆．所以∠DEA＝∠DFA.利用圆内接四边形的判定或性质定理，证明线段相等或角相等时，可构造全等或相似三角形，以达到证题的目的．2．(新课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E;(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知CB＝

6、CE得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形.证明比例式问题[例3]　如图，已知CF是⊙O的切线，C为切点，弦AB∥CF，E为圆周上一点，CE交AB延长线于点D，求证：(1)AC＝BC；(2)BC2＝CD·CE.[思路点拨]　本题主要考查利用圆内接四边形性质定理及相似三角形知识证明比例式问题．解题时，先利用弦切角定理推证(1)，再由A，B，E

7、，C四点共圆得出∠BED＝∠BAC，后证△BCE∽△DCB.可得结论．[精解详析]　(1)∵AB∥CF，∴∠FCA＝∠BAC.∵CF是⊙O的切线，∴∠FCA＝∠ABC.∴∠BAC＝∠ABC.∴AC＝BC.(2)∠BEC＝180°－∠BED，∵A，B，E，C四点共圆，∴∠BED＝∠BAC.∴∠BEC＝180°－∠BAC.由(1)得∠BAC＝∠ABC，∵∠DBC＝180°－∠ABC，∴∠BEC＝∠DBC.又∵∠BCE＝∠DC