（京津鲁琼专用）2020版高考数学第二部分专题一三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形练习

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1、第2讲　三角恒等变换与解三角形[做真题]题型一　三角恒等变换1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝(　　)A．　　　　　　　　B．C．D．解析：选B.由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝1－2sin2α＋1，即2sinαcosα＝1－sin2α.因为α∈，所以cosα＝，所以2sinα＝1－sin2α，解得sinα＝，故选B.2．(2018·高考全国卷Ⅲ)若sinα＝，则cos2α＝(　　)A．　　　　　　　　B．C．－D．－解析：选B.cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.3．(2016·高考全国卷

2、Ⅱ)若cos＝，则sin2α＝(　　)A．B．C．－D．－解析：选D.因为cos＝coscosα＋sinsinα＝(sinα＋cosα)＝，所以sinα＋cosα＝，所以1＋sin2α＝，所以sin2α＝－，故选D.题型二　三角形中的边角计算问题1．(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)A．4B．C．D．2解析：选A.因为cos＝，所以cosC＝2cos2－1＝2×－1＝－.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×＝32，所以AB＝4.故选A.2．(201

3、6·高考山东卷)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝(　　)A．B．C．D．解析：选C.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝2b2－2b2cosA，所以2b2(1－sinA)＝2b2(1－cosA)，所以sinA＝cosA，即tanA＝1，又0

4、inBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝＝.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，即＋cosC＋sinC＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－.由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝，故sinC＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝.题型三　　与三角形面积有关的问题1．(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面

5、积为，则C＝(　　)A．B．C．D．解析：选C.根据题意及三角形的面积公式知absinC＝，所以sinC＝＝cosC，所以在△ABC中，C＝.2．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．解析：法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝acsinB＝×4×2×sin＝6.法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2acco

6、sB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S＝×2×6＝6.答案：63．(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．解：(1)由题设及正弦定理得sinAsin＝sinBsinA.因为sinA≠0，所以sin＝sinB.由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos.因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°.(2)由题设及(1)知△

7、ABC的面积S△ABC＝a.由正弦定理得a＝＝＝＋.由于△ABC为锐角三角形，故0°