2019届高考数学复习第1部分专题3三角函数及解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形练习.doc

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1、第一部分专题三第二讲三角恒等变换与解三角形A组1.若2sin(θ+)=3sin(π-θ),则tanθ等于(B)A.-  B.   C.  D.2[解析] 由已知得sinθ+cosθ=3sinθ,即2sinθ=cosθ,所以tanθ=,故选B.2.(文)如果sinα=,那么sin(α+)-cosα等于(A)A.B.-C.D.-[解析] sin(α+)-cosα=sinαcos+cosαsin-cosα=×=.(理)已知α∈R,sinα+2cosα=,则tan2α=(C)A.B.C.-D.-[解析] 本题考查三角函数同角间的基本关系.将

2、sinα+2cosα=两边平方可得,sin2α+4sinαcosα+4cos2α=,∴4sinαcosα+3cos2α=,∴=.将左边分子分母同除以cos2α得,11=,解得tanα=3或tanα=-,∴tan2α==-.3.若三角形ABC中,sin(A+B)sin(A-B)=sin2C,则此三角形的形状是(B)A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形[解析] ∵sin(A+B)sin(A-B)=sin2C,sin(A+B)=sinC≠0,∴sin(A-B)=sin(A+B),∴cosAsinB=0,∵sinB≠

3、0,∴cosA=0,∴A为直角.4.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=(B)A.5B.C.2D.1[解析] 本题考查余弦定理及三角形的面积公式.∵S△ABC=acsinB=··1·sinB=,∴sinB=,∴B=或.当B=时,经计算△ABC为等腰直角三角形,不符合题意,舍去.∴B=,根据余弦定理,b2=a2+c2-2accosB,解得b=,故选B.5.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cosA=,且b

4、2bccosA,所以22=b2+(2)2-2×b×2×,即b2-6b+8=0,解得:b=2或b=4.因为b(否则,若α+β≤,则有0<β<α+β≤,0

5、β)sin=.7.(2018·淮北二模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=3b2+3c2-2bcsinA,则C等于.[解析] 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,所以b2+c2-2bccosA=3b2+3c2-2bcsinA,sinA-cosA=,2sin(A-)=≥2,因此b=c,A-=⇒A=,所以C==.8.(2018·长沙三模)在锐角△ABC中,D为BC的中点,满足∠BAD+∠C=90°,则角B,C的大小关系为B=C.(填“BC”)[解析] 设∠BAD=α,∠CAD=β

6、,因为∠BAD+∠C=90°,所以α=90°-C,β=90°-B,因为D为BC的中点,所以S△ABD=S△ACD,所以c·ADsinα=b·ADsinβ,所以csinα=bsinβ,所以ccosC=bcosB,由正弦定理得,sinCcosC=sinBcosB,即sin2C=sin2B,所以2B=2C或2B+2C=π,因为△ABC为锐角三角形,所以B=C.9.为了竖起一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求∠ACB=60°,BC11的长度大于1米,且AC比AB长0.5米,为了稳定广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为2+.[解析] 由

7、题意设BC=x(x>1)米,AC=t(t>0)米,依题设AB=AC-0.5=(t-0.5)米,在△ABC中,由余弦定理得:AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos60°,即(t-0.5)2=t2+x2-tx,化简并整理得:t=(x>1),即t=x-1++2,因为x>1,故t=x-1++2≥2+,当且仅当x=1+时取等号,此时取最小值2+.10.(2018·全国卷Ⅰ,17)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=2,求BC.[解析] (1)在△ABD中,由正弦

8、定理得=.由题设知,=,所以sin∠ADB=.由题意知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB==.(2)由题意及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BD

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