（京津鲁琼专用）2020版高考数学第一部分基础考点自主练透第4讲计数原理与二项式定理练习

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1、第4讲　计数原理与二项式定理　两个计数原理[考法全练]1．甲、乙两人都计划在国庆节的七天假期中，到东亚文化之都——泉州“二日游”，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有(　　)A．16种　　　　　　B．18种C．20种D．24种解析：选C.任意相邻两天组合在一起，一共有6种情况：①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦.若甲选①②或⑥⑦，则乙各有4种选择，若甲选②③或③④或④⑤或⑤⑥，则乙各有3种选择，故他们不同一天出现在泉州的出游方案共有2×4＋4×3＝20(种)．2．如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1＜a2且a3＜a2，则称这样的三位数为凸数(如120，343，2

2、75)，那么所有凸数的个数为(　　)A．240B．204C．729D．920解析：选A.分8类，当中间数为2时，有1×2＝2(个)；当中间数为3时，有2×3＝6(个)；当中间数为4时，有3×4＝12(个)；当中间数为5时，有4×5＝20(个)；当中间数为6时，有5×6＝30(个)；当中间数为7时，有6×7＝42(个)；当中间数为8时，有7×8＝56(个)；当中间数为9时，有8×9＝72(个)．故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．3．某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5块区域，如图．社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域，要求每

3、个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的)所选花卉的颜色不能相同，则不同种植方法的种数为(　　)A．96B．114C．168D．240解析：选C.先在a中种植，有4种不同方法，再在b中种植，有3种不同方法，再在c中种植，若c与b同色，则d有3种不同方法，若c与b不同色，c有2种不同方法，d有2种不同方法，再在e中种植，有2种不同方法，所以共有4×3×1×3×2＋4×3×2×2×2＝168(种)，故选C.4．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有________个．解析：①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A＝24(个)；②当千位

4、上的数字为3时，满足条件的四位数有A＝24(个)．　由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)．答案：485．将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是________．解析：按分步来完成此事．第1张有10种分法，第2张有9种分法，第3张有8种分法，故共有10×9×8＝720种分法．答案：7206．在学校举行的田径运动会上，8名男运动员参加100米决赛，其中甲、乙、丙三人必须在1，2，3，4，5，6，7，8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．解析：分两步安排这8名运动员．第一步，安排甲、

5、乙、丙三人，共有1，3，5，7四条跑道可安排，所以安排方式有4×3×2＝24(种)；第二步，安排另外5人，可在2，4，6，8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种)．所以安排这8名运动员的方式共有24×120＝2880(种)．答案：2880应用两个计数原理解题的方法(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．　　　　排列、组合的应用[考法全练]1．(2019·长春市质量监测(一))要将甲、乙、丙、丁4

6、名同学分到A、B、C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为(　　)A．6　　　　　　　　B．12C．24D．36解析：选B.由题意可知，可以分两类，第一类，甲与另一人一同被分到A班，分法有CA＝6(种)；第二类，甲单独被分到A班，分法有CA＝6(种)．所以共有12种，故选B.2．(一题多解)(2019·安徽五校联盟第二次质检)某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(　　)A．15　　　　　　　　B．30C．35D．42解析：选B.法一：甲企业有2人

7、，其余5家企业各有1人，共有7人，所以从7人中任选3人共有C种情况，发言的3人来自2家企业的情况有CC种，所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有C－CC＝30(种)，故选B.法二：发言的3人来自3家不同企业且含甲企业的人的情况有CC＝20(种)；发言的3人来自3家不同企业且不含甲企业的人的情况有C＝10(种)，所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有20＋10＝30(种)，故选B.3．(2019·合肥市第二次质量检测)某部队在一次军演中要先后执行A，B，C，