（京津鲁琼专用）2020版高考数学第三部分教材知识重点再现回顾5立体几何练习（含解析）

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1、回顾5　立体几何[必记知识]1．空间几何体的表面积和体积几何体侧面积表面积体积圆柱S侧＝2πrlS表＝2πr(r＋l)V＝S底h＝πr2h圆锥S侧＝πrlS表＝πr(r＋l)V＝S底h＝πr2h圆台S侧＝π(r＋r′)lS表＝π(r2＋r′2＋rl＋r′l)V＝(S上＋S下＋)h＝π(r2＋r′2＋rr′)h直棱柱S侧＝Ch(C为底面周长)S表＝S侧＋S上＋S下(棱锥的S上＝0)V＝S底h正棱锥S侧＝Ch′(C为底面周长，h′为斜高)V＝S底h正棱台S侧＝(C＋C′)h′(C，C′分别为上、下底面周长，h′为斜高)V＝(S上＋S下＋)h球S＝4πR2V＝πR32.空间线面位置关系的证

2、明方法(1)线线平行：⇒a∥b，⇒a∥b，⇒a∥b，⇒c∥b.(2)线面平行：⇒a∥α，⇒a∥α，⇒a∥α.　(3)面面平行：⇒α∥β，⇒α∥β，⇒α∥γ.(4)线线垂直：⇒a⊥b.(5)线面垂直：⇒l⊥α，⇒a⊥β，⇒a⊥β，⇒b⊥α.(6)面面垂直：⇒α⊥β，⇒α⊥β.[提醒]　要注意空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理中的条件.如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m⊂α的限制条件.3．用空间向量证明平行垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α、β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，υ＝(a3，b3，c

3、3)．则有：(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥υ⇔μ＝λυ⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥υ⇔μ·υ＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.4．用向量求空间角(1)直线l1，l2的夹角θ有cosθ＝

4、cos〈l1，l2〉

5、(其中l1，l2分别是直线l1，l2的方向向量)．(2)直线l与平面α的夹角θ有sinθ＝

6、cos〈l，n〉

7、(其中l是直线l的方向向量，n是平面α的法向量)．(3)平面α，β的夹

8、角θ有cosθ＝

9、cos〈n1，n2〉

10、，则αlβ二面角的平面角为θ或π－θ(其中n1，n2分别是平面α，β的法向量)．[提醒]　在处理实际问题时，要注意异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围，要根据具体图形确定二面角的平面角是锐角还是钝角.[必会结论]1．平行、垂直关系的转化示意图2．球的组合体(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长．(3)球与正四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半径为

11、a(正四面体高a的)，外接球的半径为a(正四面体高a的)．[必练习题]1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α；②若α∥β，m⊂α，则m∥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若m∥α，m∥β，则α∥β.其中正确命题的序号是(　　)A．①③　　　　　　B．①②C．③④D．②③解析：选D.对于①，注意到直线m可能与平面α，β的交线平行，此时结论不成立，因此①不正确；对于②，直线m与平面β必没有公共点，因此m∥β，②正确；对于③，由m⊥α，n⊥α，得m∥n，又n⊥β，因此m⊥β，③正确；对于④，平面α，β可能是相交平面，因此

12、④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是②③，选D.2．已知一个圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的表面积为(　　)A．πB．C．2πD．3π解析：选C.依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图所示，设球的半径为r，易知轴截面三角形边AB上的高为2，因此＝，解得r＝，所以圆锥内切球的表面积为4π×＝2π，故选C.3．已知S，A，B、C是球O表面上的不同点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝1，BC＝，若球O的表面积为4π，则SA＝(　　)A．B．1C．D．解析：选B.根据已知把SABC补成如图所示的长方体．因为球O的表面积为4π，所以球O的半径R＝1，2R＝＝2，解得SA＝1，

13、故选B.4．棱长都为2的直平行六面体ABCDA1B1C1D1中，∠BAD＝60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为(　　)A．B．C．D．解析：选C.过点A1作直线A1M⊥D1C1，交C1D1的延长线于点M，连接CM，可得A1M⊥平面DD1C1C，则∠A1CM就是直线A1C与平面DD1C1C所成的角．由所有棱长均为2及∠A1D1C1＝120°，得A1M＝A1D1sin60°＝，又A1C＝＝＝4，所以sin∠A1CM＝＝，故选C.5．已知矩形