2019_2020学年高中数学第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1.1分数指数幂讲义苏教版必修1

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1、3.1.1 分数指数幂学习目标核心素养1.理解根式、分数指数幂的意义,掌握根式与分数指数幂的互化.(重点)2.掌握有理指数幂的运算法则.(重点)3.了解实数指数幂的意义.通过学习本节内容提升学生的数学运算核心素养.1.平方根与立方根的概念如果x2=a,那么x称为a的平方根;如果x3=a,那么x称为a的立方根.根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有2个,它们互为相反数,一个数的立方根只有一个.2.a的n次方根(1)定义:一般地,如果一个实数x满足xn=a(n>1,n∈N*),那么称x为a的n次实数方根,式子叫做根式

2、,其中n叫做根指数,a叫做被开方数.(2)几个规定:①当n为奇数时,正数的n次实数方根是一个正数,负数的n次实数方根是一个负数,这时,a的n次实数方根只有一个,记作x=;②当n为偶数时,正数的n次实数方根有2个,它们互为相反数,这时,正数a的正的n次实数方根用符号表示,负的n次实数方根用符号-表示,它们可以合并写成±(a>0)形式;③0的n次实数方根等于0(无论n为奇数,还是为偶数).3.根式的性质(1)=0(n∈N*,且n>1);(2)()n=a(n∈N*,且n>1);(3)()=a(n为大于1的奇数);(4)()

3、=

4、a

5、=(n为大于1的偶数).4.分数指数幂的意义一般地,我们规定:(1)a=(a>0,m,n均为正整数);(2)a=(a>0,m,n均为正整数);(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.5.有理数指数幂的运算性质(1)asat=as+t;(2)(as)t=ast;(3)(ab)t=atbt,(其中s,t∈Q,a>0,b>0).1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)16的四次方根为2.(  )(2)=π-4.(  )(3)=-2.(  )[答案] (1)× (2)× (3)×[提示] (

6、1)16的四次方根有两个,是±2;(2)=

7、π-4

8、=4-π;(3)没意义.2.若n是偶数,=x-1,则x的取值范围为________.[1,+∞) [x-1≥0,∴x≥1.]3.下列根式与分数指数幂的互化正确的是________.(填序号)(1)=5;(2)2-=;(3)=(-2);(4)3=.(1)(2) [根据根式与分数指数幂的互化关系,(1)(2)正确,(3)(4)错误.]4.设5x=4,5y=2,则52x-y=________.8 [52x-y====8.]根式的性质【例1】 求下列各式的值.(1);(2)

9、;(3);(4);(5)-,x∈(-3,3).思路点拨:利用根式的性质进行求解.[解] (1)=-2.(2)==.(3)=

10、3-π

11、=π-3.(4)==

12、a3

13、=(5)原式=-=

14、x-1

15、-

16、x+3

17、,当-3

18、2++=________.(2)若+=0,则yx=________.(1)a-1 (2)-3 [(1)易知a-1≥0,原式=(a-1)+

19、a-1

20、+1-a=a-1+(a-1)+1-a=a-1.(2)由题知0=

21、x-1

22、+

23、y+3

24、,∴⇒∴yx=(-3)1=-3.]根式与分数指数幂的互化【例2】 将下列根式化成分数指数幂的形式.思路点拨:利用分数指数幂的意义以及有理指数幂的运算性质进行转化.1.根式和分数指数幂互化时应熟练应用a=和a=(a>0,m,n∈N*,且n>1).当所求根式含有多重根号时,要搞清被开方数,由里向

25、外用分数指数幂写出,然后再用性质进行化简.2.分数指数幂不表示相同因式的乘积,而是根式的另一种写法,但二者在应用时各有所侧重,分数指数幂计算较为灵活,而根式求字母的范围更常用.2.将下列根式化成分数指数幂的形式.分数指数幂的运算【例3】 (1)计算:0.064-+[(-2)3]+16-0.75+

26、-0.01

27、;思路点拨:将各个根式化成指数幂的形式,按照幂的运算性质进行运算.指数幂与根式运算的技巧(1)有理数指数幂的运算技巧①运算顺序:有括号的,先算括号里面的,无括号的先做指数运算.②指数的处理:负指数先化为正指数.(

28、底数互为倒数)③底数的处理:底数是负数,先确定幂的符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数,先化成假分数,然后再把底数尽可能用幂的形式表示.(2)根式运算技巧①各根式(尤其是根指数不同时)要先化成分数指数幂,再运算.②多重根式可以从内向外逐层变换为分数指数幂.3.(1)化简:=____.条件求值问题[探究问题]1.x+x-与x+x-1有什么关

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