2019_2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.4二面角及其度量学案新人教B版

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1、3．2.4　二面角及其度量学习目标核心素养1.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角．(重点)2.掌握求二面角的方法、步骤．(重点、难点)1.通过学习二面角的概念及二面角的平面角，培养学生的数学抽象素养.2.借助求二面角的方法和步骤的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.1．二面角的概念(1)半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作αlβ，若A∈α

2、，B∈β，则二面角也可以记作AlB，也可记作2∠l，二面角的范围为[0，π]．(3)二面角的平面角：在二面角αlβ的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角αlβ的平面角．思考：如何找二面角的平面角？[提示]　(1)定义法由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识．(2)垂面法作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角．(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致．2．用向量的夹角度量二面角设二面角的大

3、小为θ，n1，n2为两个非零向量．(1)当n1∥α，n2∥β，n1⊥l，n2⊥l，且n1，n2的方向分别与半平面α，β的延伸方向相同，则θ＝〈n1，n2〉．(2)当n1⊥α，n2⊥β，则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉．1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是(　　)A．相等　　　　　　　B．互补C．相等或互补D．不能确定C　[由二面角的概念，知这两个二面角大小相等或互补．]2．三棱锥ABCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角ABDC的大小为(　　)A.　　　

4、B.　　　C.或　　　D.或C　[当二面角ABDC为锐角时，它就等于〈n1，n2〉＝；当二面角ABDC为钝角时，它应等于π〈n1，n2〉＝π－＝.]3．已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为________．　[由题得＝(－1,2,0)，＝(－1,0,3)．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．由知令x＝2，得y＝1，z＝，则平面ABC的一个法向量为n＝.平面xOy的一个法向量为＝(0,0,3)．由此易求出所求锐二面角的余弦值为

5、cosθ

6、＝＝＝.]用定义法求二面角【例1】　如图所示，ABCD是

7、正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角AVBC的余弦值．[思路探究]　先判断△VAB，△VBC为等边三角形，取VB的中点E，连接AE，CE，再证明∠AEC是二面角的平面角．[解]　取VB的中点为E，连接AE，CE.∵VA＝VB＝VC＝AB，∴AE⊥VB，CE⊥VB.∴∠AEC是二面角AVBC的平面角．设AB＝a，连接AC，在△AEC中，AE＝EC＝a，AC＝a，由余弦定理可知：cos∠AEC＝＝－，∴所求二面角AVBC的余弦值为－.用定义求二面角的步骤(1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)；(2)证明所作平面角即为所求

8、二面角的平面角；(3)解三角形求角.1．如图所示，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.(1)证明AB⊥平面VAD；(2)求面VAD与面VDB夹角的正切．[解]　(1)证明：∵平面VAD⊥平面ABCD，交线为AD.AB⊂平面ABCD，AB⊥AD.∴AB⊥平面VAD.(2)如图，取VD的中点E，连接AE，BE.∵△VAD是正三角形，∵AE⊥VD，AE＝AD.∵AB⊥平面VAD，∴AB⊥AE.又由三垂线定理知BE⊥VD.因此，∠AEB是所求二面角的平面角．于是tan∠AEB＝＝，即平面VAD与平面VDB夹角的正切为.

9、用向量法求二面角[探究问题]1．构成二面角的平面角有几个要素？[提示]　(1)角的顶点在二面角的棱上；(2)角的两边分别在表示二面角的两个半平面内；(3)角的两边分别和二面角的棱垂直．2．二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有何关系？[提示]　条件平面α，β的法向量分别为u，v，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，v〉＝φ图形关系θ＝φθ＝π－φ计算cosθ＝cosφcosθ＝－cosφ【例2】　如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．(1)证明：O