高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.4二面角及其度量学案新人教b版选修2

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1、3.2.4　二面角及其度量1．理解斜线和平面所成角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性．2．会求直线与平面所成的角．3．掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角．4．掌握求二面角大小的基本方法．1．直线与平面的夹角(1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为______；(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为______；(3)斜线和它在平面内的______所成的角叫做斜线和平面________(或斜线和平面的夹角)；(4)直线与平面的夹角的范围是.【

2、做一做1】直线l的一个方向向量与平面α的法向量的夹角为135°，则直线l与平面α的夹角为(　　)A．135°B．45°C．75°D．以上均错2．最小角定理(1)线线角、线面角的关系式：cosθ＝________，如图，θ是OA与OM所成的角，θ1是OA与OB所成的角，θ2是OB与OM所成的角．(2)最小角定理：斜线和它在平面内的________所成的角，是斜线和这个平面内________________中最小的角．【做一做2】一条直线与平面的夹角为30°，则它和这个平面内所有直线所成角中最小的角为(　　)A．30°B．60°

3、C．90°D．150°3．二面角的定义及表示方法(1)平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做________．(2)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做________；这条直线叫做二面角的________，每个半平面叫做二面角的________．棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作________．若A∈α，B∈β，二面角也可以记作________．(3)二面角的平面角在二面角α－l－β的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做________________．(4

4、)二面角的范围是[0，π]．(5)平面角是直角的二面角叫做直二面角．(1)二面角是图形，它是由两个半平面和一条棱构成的图形．(2)符号α－l－β的含义是棱为l，两个面分别为α，β的二面角．(3)两个平面相交，构成四个二面角．【做一做3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－B1C－A1的平面角的正切值为(　　)A．1B．C．D．4．设m1⊥α，m2⊥β，则角〈m1，m2〉与二面角α－l－β____________________.【做一做4】若二面角的两个半平面的法向量分别为(4,2,0)和(3，－6,5)，则这个

5、二面角的余弦值是(　　)A．0B．C．D．1．如何理解直线与平面所成的角？剖析：此概念应分三种情况：(1)直线与平面斜交时，直线与平面所成的角是指这条直线和它在平面内的射影所成的锐角；(2)直线与一个平面垂直时，直线与平面的夹角为90°；(3)一条直线与一个平面平行或在平面内时，直线与平面的夹角为0°.2．如何用向量求线面角？剖析：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与平面所成的角为θ，则sinθ＝

6、cos〈a，n〉

7、＝.3．如何理解二面角的平面角？二面角的平面角必须具备三个条件：(1)二面角的平面角的顶点在二面角

8、的棱上；(2)二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内；(3)二面角的平面角的两条边都与棱垂直，且平面角的大小与平面角在棱上的位置无关．4．如何求二面角？(1)作出二面角的平面角；(2)利用法向量的夹角．题型一用定义求直线与平面所成的角【例1】已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成角的大小．分析：解答本题可找出点A在平面内的射影位置，作出线面角，然后解三角形求出线面角．反思：用定义法求直线与平面所成角时，关键是找到斜线的射影，找射影

9、有以下两种方法：①斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上；②利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影．题型二向量法求直线与平面所成的角【例2】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，A1B⊥B1C.求B1C与侧面A1ABB1所成角的正弦值．分析：因为是直三棱柱，所以本题可建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角求解．反思：利用向量法求斜线与平面的夹角优势在于不用找角，只需建立适当的坐标系，用待定系数法求出平面的法向量，再用公式求解即可．但要注意法向量的正确性以及线面角与向

10、量夹角的关系．题型三定义法求二面角的大小【例3】如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，AD＝DC＝BC＝a，AB＝a.(1)求证：平面ABC垂直于平面ADC；(2)求二面角C－AB－D的大小．分析：(1)可利用面面垂直的判定定理证明；(2)利用平面ABC垂直于平面ADC，作出所求二面