应用随机过程第6章股票价格行为模式分析下

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1、第6章股票价格行为模式分析（下）布朗运动鞅随机积分及其在金融中的应用2016-2017学年第2学期统计与信息学院张建新1提要1股票价格行为特征、市场假设2股票价格行为模式3收益率变化模型4相关随机过程Markov过程、Brown运动、鞅、Ito过程5相关随机分析随机微积分、Ito积分、Ito定理、随机微分方程6随机分析的其他应用22股票价格行为模式（2）›无红利支付股票价格遵循的随机过程dS=μSdt+σSdB›其中S=S(t)代表t时刻股票价格›B=B(t)是标准Brown运动，也称Wiener过程。›表达式“dS=μSdt+σSdB”表示股

2、价S(t)可以由瞬态期望漂移率(instantaneousexpecteddriftrate)为μS和瞬态方差率为σ2S2的Ito过程（几何布朗运动）表达。›应用Ito定理，可以对上述股票价格过程进行变形，得到显示表达：12St()exp{()tBt()}232股票价格行为模式（3）›无红利支付股票价格遵循的随机过程dS=μSdt+σSdB›股价S(t)可以由瞬态期望漂移率(instantaneousexpecteddriftrate)为μS和瞬态方差率为σ2S2的Ito过程（几何布朗运动）表达。12St()exp{()t

3、Bt()}2•股票价格服从对数正态分布，即取对数之后为正态分布12lnS~N[lnS(u)(Tt),Tt]Tt24563收益率变化模型（1）›无红利支付股票收益率遵循的随机过程›dS/S=μdt+σdB›dS/S为股票价格收益率，上式表明可以用漂移率的期望值为μ，方差率的期望值为σ2的普通布朗运动表示。73收益率变化模型（2）›股票收益率dS/S=μdt+σdB›可以用漂移率的期望值为μ，方差率的期望值为σ2的普通布朗运动表示股票收益率。•股票价格收益率的分布：•记t到T时间内连续复利年利率为则可以得：11STln(lnS

4、Sln)TtTtSTtt由股票价格的对数正态分布性质知：12~Nu((),)2Tt84相关随机过程—Ito过程›布朗运动的路径性质决定了我们不能按照，Riemann的思想定义积分。›40年代，日本科学家Ito用新的思路引入了随机积分（对布朗运动的积分），其基本思想就是，取左端点，求和，取极限。•如下过程称为Ito过程dX(,tXdt)(,tXdB)tttt•Ito过程的积分形式：ttXt()X(0)((),)Xssds((),)XssdBs()00•当和均为常数时，称上述过程为广义Weiner过程。9

5、5相关随机分析(1)›随机微积分›Ito积分›Ito定理›随机微分方程105相关随机分析(2)—随机微积分›在普通函数的微积分中，连续、导数和积分等概念都是建立在极限概念的基础上。›在一般随机分析中，以随机序列极限为基础，研究分析随机过程的连续、导数和积分等概念和性质。›在以“均方收敛”定义的极限的基础上，建立起“随机微积分与微分方程”理论。›这里所称“随机分析”是概率论的一个重要分支,它诞生于20世纪40年代,创始人K.Ito获得1987年Wolf数学奖.›在对获奖工作的评价中写到:“他的随机分析可以看作随机王国中的牛顿定律.它提供的支配自然

6、现象的偏微分方程和隐藏着的概率机制之间的直接翻译过程.›其主要成分是Brown运动函数的微分和积分运算.由此产生的理论是近代纯粹与应用概率论的基石.115相关随机分析(3)—Ito积分125相关随机分析(4)—Ito积分135相关随机分析(5)—Ito积分›如何理解Ito积分？–Ito积分的均值为0，方差为：TT22E[(XtdBt()())]E[Xtdt()]00›如何理解Ito定理（公式）？–Ito公式研究Ito过程X(t)的复合函数Y(t)=f(t,X(t))的泰勒展开式关于dt的一阶近似。2gtX(,t)gtX(,t)1gt

7、X(,t)2dYdgtX(,)dtdX(dX)ttt2ttX2Xtt–为什么不写出其他的二次项？14–因为他们都是dt的高阶无穷小量，可以略去。，5相关随机分析(6)—Ito积分2gtX(,t)gtX(,t)1gtX(,t)2dYdgtX(,)dtdX(dX)ttt2ttX2Xtt›(dXt)2=?(dBt)2=?(dBt)(dt)=?dBtdBt()()dtdtdBt()0›关于上式的直观理解：–布朗运动的二次变差公式得到155相关随机分析(7)—Ito定理•Ito在建立了随机版本的积分之后，又给出了

8、随机版本的牛顿定理。•Ito定理：设X为Ito过程，g为二次可导的二元函数，则2gtX(,t)gtX(,t)1gtX(,t)2dgtX(,)d