2019-2020年高三暑假自主学习测试数学（理）试题含解析

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1、2019-2020年高三暑假自主学习测试数学（理）试题含解析参考公式：样本数据的方差，其中．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1.已知集合，，则.2.设，向量且，则=．3.设复数满足(为虚数单位），则=.．【答案】【解析】试题分析：由，得，所以.考点：复数的四则运算，复数模的概念.4.若，则的最小值为．5.样本数据18，16，15，16，20的方差＝.6.已知双曲线的离心率为2，则的值为______．7.根据如图所示的伪代码，最后输出的的值为______.　　　【答案】9　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2、　　　　T←1i←3WhileT<10T←T+ii←i+2EndWhilePrinti8.已知函数,其中是取自集合的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为_____．9.已知实数满足不等式组，则的最大值是．【答案】【解析】试题分析：不等式表示的平面区域如图所示为四边形及其内部，的几何意义为直线在轴上的截距，由图可知，当直线经过点时，截距最大，解方程得，所以.考点：简单的线性规划.10.已知函数，则满足的的取值范围是______．11.如图，在直四棱柱中，点分别在上，且，，点到的距离之比为，则三棱锥和的体积比.【答案】12.已知是

3、直线上一动点，是圆的两条切线，切点分别为．若四边形的最小面积为2，则=．13.已知函数和的图象的对称轴完全相同，则的值是．【答案】－2【解析】试题分析：由两函数的图象的对称轴完全相同知，图象的一条对称轴为，所以，得，所以.考点：三角函数的图象与性质.14.已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为______.二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）已知向量，，，其中为的内角．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，且，求的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（

4、Ⅰ）对进行化简，可求的值，进而求出角；（Ⅱ）先求16.（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面为矩形，，，分别是的中点，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）要证线面平行，先找线线平行；（Ⅱ）要证线面垂直，先证线面垂直，于是需找出图形中的线线垂直关系，以方便于证明面面垂直.试题解析：（Ⅰ）取中点，连，又，，所以平面．………………12分又平面，所以平面平面．………………14分考点：直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理.17.

5、（本小题满分14分）设数列的前项和为，对任意满足，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．考点：等差数列、等比数列.18.（本小题满分16分）如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排，在路南侧沿直线排，现要在矩形区域内沿直线将与接通．已知，，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的部分的排管费用为每米2万元，设与所成的小于的角为．（Ⅰ）求矩形区域内的排管费用关于的函数关系式；（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角．故有，，．…………………4分所以…5分．…………8分（Ⅱ）设(其中)，19.

6、（本小题满分16分）已知椭圆的长轴两端点分别为，是椭圆上的动点，以为一边在轴下方作矩形，使，交于点，交于点．（Ⅰ）如图（1），若，且为椭圆上顶点时，的面积为12，点到直线的距离为，求椭圆的方程；（Ⅱ）如图（2），若，试证明：成等比数列．得，，即．……9分由三点共线，及，得，，即．……11分20.（本小题满分16分）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．（Ⅰ）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；（Ⅱ）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；（Ⅲ）若为定义域上的“局部奇函数”，求

7、实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）是，理由详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）判断方程是否有解；（Ⅱ）在方程有解时，通过分离参数求取值范围；（Ⅲ）在不便于分离参数时，通二次函数的图象判断一元二次方程根的分布.试题解析：为“局部奇函数”等价于关于的方程有解．5分从而在有解即可保证为“局部奇函数”．………11分令，1°当，在有解，附加题注意事项：1．本试卷共2页，满分40分，考试时间30分钟．2．请将解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效．　　3．答题前，务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置．21

8、.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（本小题满分10分）已知：如图，点在上，，平分，交于点．求证：为等腰直角三角形．ACPBOB．选修4—2：矩阵与变换（本