2019-2020年高二上学期开学考试 数学 含答案

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1、2019-2020年高二上学期开学考试数学含答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．函数的单调增区间为．2．在中，若＝＝，则的形状是_________三角形．3．已知为直线，为空间的两个平面，给出下列命题：①；②；③；④．其中的正确命题为．4．已知，，的夹角为60°，则．5．数列满足：，则通项公式是：=_____．6．定义：区间的长度为，已知函数的定义域为值域为则区间长度的最大值与最小值的差为．7．已知均为R上的奇函数且解集为（4，10），解集为（2，5），则的解集

2、为．8．设函数在区间上是增函数，则的取值范围为____．9．已知，则函数的最小值为．10．设实数满足若的最小值为3，则实数的值为．11．已知中，边上的高与边的长相等，则的最大值为．12．在棱长为1的正方体中，为的中点，在面中取一点，使最小，则最小值为__________．13．设是等比数列，公比，为的前项和，记，设为数列的最大值，则=．14．当为正整数时，函数表示的最大奇因数,如,设,则．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．(本题满分14分)在中，a、b、c分别是

3、角A、B、C的对边，且＝－．(1)求角B的大小；(2)若b＝，a＋c＝4，求的面积．16．(本题满分14分)如图，在四棱锥中，，且，，点在棱上，且．（1）求证:平面平面；（2）求证:平面．17．(本题满分15分)设不等式所表示的平面区域为，记内的整点个数为（n∈），（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）记数列｛an｝的前项和为Sn，且，若对于一切正整数n，总有m，求实数m的取值范围．18．(本题满分15分）如图，半径为1，圆心角为的圆弧AB上有一点C．(1)若C为圆弧AB的中点，点D

4、在线段OA上运动，求

5、＋

6、的最小值；(2)若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧AB上运动时，求•的取值范围．19．（本题满分16分）对于定义域为D的函数，如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：①在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．（1）证明：[0，1]是函数=的一个“和谐区间”．（2）求证：函数不存在“和谐区间”．（3）已知：函数（R，）有“和谐区间”[m，n]，当变化时，求出n﹣m的最大值．20．（本题满分16分）已知首项为的正项数

7、列满足，．（1）若，，，求的取值范围；（2）设数列是公比为的等比数列，为数列前项的和．若，，求的取值范围；（3）若，，，（）成等差数列，且，求正整数的最小值，以及取最小值时相应数列，，，的公差．扬州中学xx高二第一学期开学考查(高二数学)xx．8答案：1．（亦可写成）2．等边3．③④4．5．6．37．8．9．10．11．12．13．414．15.解：(1)由余弦定理知：cosB＝，cosC＝.将上式代入＝－得：·＝－，整理得：a2＋c2－b2＝－ac.∴cosB＝＝＝－.∵B为三角形的内角，∴B＝π.(2)将b＝，a＋

8、c＝4，B＝π代入b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB，∴13＝16－2ac，∴ac＝3.∴S△ABC＝acsinB＝.16．证明：（1）因为，所以。又，，平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）连接交于，连。因为，所以，所以又，所以。平面平面，所以平面。17．解：（1）=3n；（2）∵=3(1+2+3+…+n)=∴=∴-=-=∴当n≥3时,>，且=1<=.于是是数列｛an｝的最大项，故m≥=．18．解：（1）以为原点，为x轴建立直角坐标系，则设，则，所以，当时，．（2

9、）由题意，设，所以。因为，则，所以．19.（1）∵y=x2在区间[0，1]上单调递增．又f（0）=0，f（1）=1，∴值域为[0，1]，∴区间[0，1]是y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数在[m，n]上单调递增．若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m、n是方程的同号的相异实数根．∵x2﹣3x+5=0无实数根，∴函数不存在“和谐区间”．（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，[m，n]⊆（﹣

10、∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数在[m，n]上单调递增．若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m、n是方程，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根．∵，∴m，n同号，只须△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，即a＞1或a＜﹣3时，已知函数有“和谐区间”[m，n]，.∵，∴当a=3时，n﹣m取最大值20.解：