2019年高考数学大一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入课时达标23平面向量的概念及其线性运算

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1、2019年高考数学大一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入课时达标23平面向量的概念及其线性运算[解密考纲]本考点重点考查向量的概念、线性运算，多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等偏下．一、选择题1．在△ABC中，已知M是BC的中点，设＝a，＝b，则＝(　A　)A．a－b　　B．a＋bC．a－b　　D．a＋b解析　＝＋＝－＋＝－b＋a.故选A．2．已知a，b是两个非零向量，且

2、a＋b

3、＝

4、a

5、＋

6、b

7、，则下列说法正确的是(　D　)A．a＋b＝0　　B．a＝bC．a与b共线反向　　D．存在正实数λ，使a＝λb解析　因为a，b是

8、两个非零向量，且

9、a＋b

10、＝

11、a

12、＋

13、b

14、，则a与b共线同向，故D项正确．3．(xx·湖北襄阳四校联考)已知a，b为平面向量，若a＋b与a的夹角为，a＋b与b的夹角为，则＝(　B　)A．　　B．　　C．　　D．解析　如图，＝a，＝b，依题意，在△OAC中，由正弦定理得＝＝＝.4．如图所示，在△ABC中，若＝3，则＝(　C　)A．＋　　B．－C．＋　　D．－解析　＝－＝－＝(－)＋＝＋.故选C．5．已知D为△ABC的边AB的中点，M在边DC上且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为(　C　)A．　　B．　　C．　　D．解析　由5

15、＝＋3，得2＝2＋3－3，即2(－)＝3(－)，即2＝3，故＝，故△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5，故S△ABM∶S△ABC＝3∶5.6．已知O是△ABC所在平面外一点且满足＝＋λ，λ为实数，则动点P的轨迹必须经过△ABC的(　B　)A．重心　　B．内心　　C．外心　　D．垂心解析　如图，设＝，＝，已知，均为单位向量，且四边形AEDF为平行四边形，故▱AEDF为菱形，所以AD平分∠BAC．由＝＋λ，得＝λ，又与有公共点A，故A，D，P三点共线，所以点P在∠BAC的平分线上，故动点P的轨迹经过△ABC的内心．二、填空题7．(xx

16、·浙江卷)已知向量a，b满足

17、a

18、＝1，

19、b

20、＝2，则

21、a＋b

22、＋

23、a－b

24、的最小值是__4__，最大值是__2__.解析　设a，b的夹角为θ，∵

25、a

26、＝1，

27、b

28、＝2，∴

29、a＋b

30、＋

31、a－b

32、＝＋＝＋，则y2＝10＋2.∵θ∈[0，π]，∴cos2θ∈[0,1]，∴y2∈[16,20]，∴y∈[4,2]，即(

33、a＋b

34、＋

35、a－b

36、)∈[4,2]．8．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝__3__.解析　由题目条件可知，M为△ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，则＝，因为AD为中线，则＋＝2＝3，所

37、以m＝3.9．设a，b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为__－1__.解析　∵＝＋＝2a－b，又A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使＝λ，即∴p＝－1.三、解答题10．在△ABC中，已知D是AB边上一点，＝＋λ，求实数λ的值．解析　如图，D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，过点D作DF∥AC，交BC于点F，连接CD，则＝＋.因为＝＋λ，所以＝，＝λ.由△ADE∽△ABC，得＝＝，所以＝＝，故λ＝.11．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N

38、是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，若＝m＋，求实数m的值．解析　由N是OD的中点得＝A＋＝＋(＋)＝＋，又因为A，N，E三点共线，故＝λ，即m＋＝λ，所以解得故实数m＝.12．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.(1)用a，b表示向量，，，，；(2)求证：B，E，F三点共线．解析　(1)延长AD到G，使＝，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，所以＝a＋b，＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，＝＝b，＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，＝－＝b－a＝(b－2a)．(2)证明：由(1)可知＝

39、，又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线．