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《2019-2020年高中数学 第二章拓展题选粹 新人教A版必修2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2019-2020年高中数学第二章拓展题选粹新人教A版必修21、已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，，点E、F分别是棱AB、PD的中点，∠PDA=45°。把下列命题中正确命题的序号填在题后的横线上。（1）棱AB与PD所在的直线垂直。（2）平面PAB与平面PAD所成的二面角是（3）直线AF//平面PEC；（4）平面PEC⊥平面PCD。其中正确命题的序号是___________________。思路分析：根据已知条件画出图形（如图），进而由三垂线定理及垂直的判定与性质定理进行判断。解题过程：（1）ABCD，，由三垂线定理知，结论正
2、确。（2）由已知得是平面PAB与平面PAD所成的二面角，故结论正确。（3）取PC的中点N，连接FN、EN，则易证四边形AFNE是平行四边形，故结论正确。（4）由∠PDA=45°，F是PD的中点知，又，故结论正确。即正确结论的序号是（1）（2）（3）（4）。解题后的思考：对于有关空间中的平行与垂直关系命题的判断，解题的关键依然是平行、垂直的判定定理和性质定理的应用，同学们应熟练地掌握。这类问题在新课标高考命题中出现的频率很高。2、已知三棱锥中，，，⊥平面，，分别是上的动点，且，（Ⅰ）求证：不论为何值，总有平面⊥平面；（Ⅱ）当为何值时，平
3、面⊥平面？思路分析：（I）要证不论为何值，总有平面⊥平面，只要证明不论为何值，总有平面即可。因为EF与CD平行与的取值无关。（II）根据⊥平面及平面⊥平面等条件，求出。解题过程：（Ⅰ）证明：∵平面，∴，∵，且，∴平面，又∵（），∴不论为何值，恒有，∴平面，平面，∴不论为何值，恒有平面⊥平面．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故，又要求平面平面，∴平面，∴，∵，，，∴，∴，由得，∴，故当时，平面平面．解题后的思考：证明面面垂直的关键是证明线面垂直，而证明线面垂直则要证明线线垂直，这些垂直关系的判定与性质定理在证明过程中会交替使用。证明面面垂直的方法有
4、：①相交且成直二面角的两平面垂直；②一平面经过另一平面的一条垂线，则两平面垂直；③利用空间向量证明两个平面的法向量垂直。3、如图，在四棱锥中，平面，，平分，为的中点，（1）证明：平面（2）证明：平面（3）求直线与平面所成角的正切值【解】证明：设，连结EH，在中，因为AD=CD，且DB平分，所以H为AC的中点，又有题设，E为PC的中点，故,又,所以.（2）证明：因为，，所以由（1）知，,故(3)解：由可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以为直线与平面PBD所成的角。由,在中，,所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为。点评：本题以
5、四棱锥为依托，设计了一道集线面平行、线面垂直的证明线面角的计算为一体的综合解答题，全面考查考生对空间线面位置关系基础知识的掌握程度，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，是知识考查与能力考查并重的基础性试题。4、如图，在正三棱柱（底面是正三角形，侧棱垂直底面）中，，D是的中点，点E在上，且。（I）证明平面平面（II）求直线和平面所成角的正弦值。【解】（I）如图所示，由正三棱柱的性质知平面，又DE平面ABC，所以DEAA.而DEAE。AAAE=A所以DE平面ACCA，又DE平面ADE，故平面ADE平面ACCA。（2）如图所示，设
6、F使AB的中点，连接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC-ABC的性质及D是AB的中点知ABCD，ABDF又CDDF=D，所以AB平面CDF，而AB∥AB，所以AB平面CDF，又AB平面ABC，故平面ABC平面CDF。过点D做DH垂直CF于点H，则DH平面ABC。连接AH，则HAD是AD和平面ABC所成的角。由已知AB=AA，不妨设AA=，则AB=2，DF=，=，=，AD==，DH===，所以sinHAD==。即直线AD和平面ABC所成角的正弦值为。5、已知正方形ABCD.E、F分别是AB、CD的中点,将ADE沿DE折起,如图所示,记二
7、面角A－DE－C的大小为θ(0<θ<π).（1）证明BF∥平面ADE;（2）若△ACD为正三角形,试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上,证明你的结论,并求角θ的余弦值.【解析】(１)EF分别为正方形ABCD的边AB、CD的中点,∴EB//FD,且EB=FD,∴四边形EBFD为平行四边形.∴BF//ED∵DE平面AED,而BF平面AED∴BF//平面ADE.（2）解法1:如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上。过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD.∵△ACD为正三角形,∴AC=AD∴CG=GD
8、∵G在CD的垂直平分线上,∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则AH⊥DE,所以∠AHG为二面角A－DE－C的平面角.即∠AHG=θ设原正方体的边长为2a,连结AF在折后图的△
