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时间:2019-11-11
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1、2019-2020年高考数学向量的概念与基本运算3一、课前检测1.(北京市东城区08年高三)已知Rt△ABC的斜边BC=5,则的值等于.答案:-25。2.(湖北省荆门市08届上期末)如图,在△ABC中,,,若,,则()A.B.C.D.二、知识梳理1.向量的夹角:如下图,已知两个非零向量和,作,,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量与的夹角,记作〈,〉。注意:必须把两向量平移到共起点。C解读:2.数量积的定义:已知两个非零向量和,它们的夹角为θ,则数量
2、
3、
4、
5、cosθ叫做a与b的数量积,记作·,即·=
6、
7、
8、
9、cosθ.零向量与任一向量的
10、数量积为.注意:,,。解读:3.数量积的几何意义:①
11、
12、cos〈,〉叫做在方向上的投影;
13、
14、cos〈,〉叫做在方向上的投影;②·的几何意义:·等于
15、
16、与在方向上的投影
17、
18、cos〈,〉乘积或等于
19、
20、与在方向上的投影
21、
22、cos〈,〉乘积。解读:4.数量积的性质:设是单位向量,〈,〉=θ.1)·=·=
23、
24、cosθ.与同向的单位向量的求法:。平行的单位向量呢?2)在方向上的投影为:;在方向上的投影︱︱cos=∈R。3)当与同向时,·=
25、
26、
27、
28、;当与反向时,·=-
29、
30、
31、
32、,特别地,·=
33、
34、2,或
35、
36、=.4).5)6).7)cosθ=.①为锐角,不同向;
37、为直角;为钝角,不反向.8)
38、·
39、≤
40、
41、
42、
43、.解读:5.数量积的运算法则(运算律);②③(λ)·=λ(·)=·(λ)注意:1)数量积不满足结合律2)已知向量和轴,是上与同方向的单位向量,作点在上的射影,作点在上的射影,则叫做向量在轴上或在上的正射影.可以证明的长度.3)数量积的物理意义——力作功:一个物体在力的作用下产生位移,那么力所作的功,其中是与的夹角,从而.解读:三、典型例题分析例1已知
44、
45、=4,
46、
47、=5,且与的夹角为60°,求:(2+3)·(3-2).解:(2+3)(3-2)=-4变式训练1已知
48、
49、=3,
50、
51、=4,
52、+
53、=5,求
54、2-
55、3
56、的值.解:变式训练2若向量a与b的夹角为60°,
57、b
58、=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模是(C)A.2B.4C.6D.12解析:(a+2b)·(a-3b)=
59、a
60、2-
61、a
62、
63、b
64、cos60°-6
65、b
66、2=
67、a
68、2-2
69、a
70、-96=-72,∴
71、a
72、2-2
73、a
74、-24=0.∴(
75、a
76、-6)·(
77、a
78、+4)=0.∴
79、a
80、=6.小结与拓展:例2如图,在等腰直角ΔABC中,∠C=90°,
81、AB
82、=2.求(1)的值;(2)的值;(3)变式训练3在中,,则的值为()A.20B.C.D.答案:B变式训练4已知为(C)A.锐角三角形B.
83、直角三角形C.钝角三角形D.不能确定小结与拓展:例3已知
84、
85、=,
86、
87、=3,和夹角为450,求当向量+λ与λ+夹角为锐角时,λ的取值范围。答案:λ<,或λ>且λ≠1变式训练5已知
88、a
89、=10,
90、b
91、=12,且(3a)·(b)=-36,则a与b的夹角是(B)A.60°B.120°C.135°D.150°解析:由(3a)·(b)=-36得a·b=-60.∴cos〈a,b〉==-.又0°≤〈a,b〉≤180°,∴〈a,b〉=120°.变式训练6.若向量c垂直于向量a和b,d=λa+μb(λ、μ∈R,且λμ≠0),则(B)A.c∥dB.c⊥dC.c不平
92、行于d,也不垂直于dD.以上三种情况均有可能解析:∵c⊥a,c⊥b,∴c·a=0,c·b=0.∴c·d=c·(λa+μb)=c·(λa)+c·(μb)=λc·a+μc·b=0.小结与拓展:四、归纳与总结(以学生为主,师生共同完成)1.知识:2.思想与方法:3.易错点:4.教学反思(不足并查漏)
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