2019-2020年高中数学竞赛试卷A 含答案

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1、2019-2020年高中数学竞赛试卷A含答案一、选择题（每个5分，共6题）1.将选手的9个得分去掉1个最高分，去年1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为A.B.C.36D.2.半径为R的球的内部装有4个有相同半径r的小球，则小球半径r可能的最大值是A.B.C.D.3.已知数列{an}和{bn}对任意，都有，当时，数列{an}和{bn}的极限分别是A和B，则A.B.C.D.A和B的大小关系不确定4.对所有满足的m,n,极坐标方程表示的不同双曲线条数为A.6

2、B.9C.12D.155.使关于x的不等式有解的实数k的最大值是A.B.C.D.6.设，则对任意的整数n，形如4n,4n+1,4n+2,4n+3的数中，不是M中的元素的数为A.4nB.4n+1C.4n+2D.4n+3二、填空题（每个8分，共6题）7.已知三边为连续自然数的三角形的最大角是最小角的两倍，则该三角形的周长为：8.对任一实数序列，定义△A为序列，它的第n项是，假定序列△（△A）的所有项都是1，且，则的值为：9.满足使为纯虚数的最小正整数n=10.将1，2，3，...，9这9个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从

3、上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为：11.记集合，将M中的元素按从大到小顺序排列，则第xx年数是：12.设直线系，对于下列四个命题：①M中所有直线均经过一个定点②存在定点P不在M中的任一条直线上③对于任意整数存在正n边形，其所有边均在M中的直线上④M中的直线所能围成的三角形面积都相等其中真命题的代号是：（写出所有真命题的代号）三、解答题（共4题，满分72分）1.（本小题满分16分）如图所示，AB为Rt△ABC的斜边，I为其内心，若△IAB的外接圆的半径为R，Rt△ABC的内切圆半径为r，求证：.1.（本小题满分

4、16分）如图，A，B为椭圆（a>b>0)和双曲线的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且满足求证：（Ⅰ）三点O、P、Q在同一直线上；（Ⅱ）若直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别是k1、k2、k3、k4，则k1+k2+k3+k4是定值。2.（本小题满分20分）已知整数列，满足，，对于正整数n，定义函数，证明：若存在某个有两个整数零点，则必有无穷多个有两个整数零点。1.（本小题满分20分）已知，函数。（Ⅰ）经过原点分别作曲线和的切线和。已知两切线的斜率互为倒数，求证：（Ⅱ）设，当时，恒成立，试求实数a的聚会范围。xx年湖南省高

5、中数学竞赛答案（A卷）BBBADC7.158.8199.310.611.12.②③13.14.15.16.