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1、2019-2020年高中数学2.5从力做的功到向量的数量积同步教学例题讲解北师大版必修4【学习目标】(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.(2)体会平面向量的数量积与向量投影的关系.(3)掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【学习重点】向量数量积的含义及其物理意义、几何意义;运算律.【学习难点】运算律的理解【知识衔接】1.已知(x1,y1)(x2,y2)求+,-的坐标;2.已知(x,y)和实数λ,求λ的坐标;3.已知,求的坐标;4.向
2、量、共线的两种判定方法:∥()▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁、▁▁▁▁▁。【学习过程】1.由力做的功:W=
3、F
4、•
5、s
6、cosq,q是F与s的夹角;可以定义:平面向量数量积(内积)的定义,a•b=
7、a
8、
9、b
10、cosq,并规定0与任何向量的数量积为0。×2.向量夹角的概念:▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁。范围0°≤q≤180°。由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别;要注意的几个问题:①两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cosq的符号所决定。②两个向量的数量积称为内积,写成a•b;今后要学到两个向量的外积
11、a×b,而ab是两个数量的积,书写时要严格区分。OaAcbab③在实数中,若a¹0,且a•b=0,则b=0;但是在数量积中,若a¹0,且a•b=0,不能推出b=0。因为其中cosq有可能为0.这就得性质2.④已知实数a、b、c(b¹0),则ab=bcÞa=c.但是a•b=b•cÞa=c如右图:a•b=
12、a
13、
14、b
15、cosb=
16、b
17、
18、OA
19、b•c=
20、b
21、
22、c
23、cosa=
24、b
25、
26、OA
27、Þa•b=b•c但a¹c⑤在实数中,有(a•b)c=a(b•c),但是(a•b)c¹a(b•c)显然,这是因为左端是与c共线的向量,而右端是与a共线的向量,而
28、一般a与c不共线.3.问题(1).射影的概念是如何定义的,举例(或画图)说明;并指出应注意哪些问题.AOOBOB1OabqAOOBOB1OabqAOOBO(B1)Oabq定义:
29、b
30、cosq叫做向量b在a方向上的射影。注意:①射影也是一个数量,不是向量。②当q为锐角时射影为正值;当q为钝角时射影为负值;当q为直角时射影为0;当q=0°时射影为
31、b
32、;当q=180°时射影为-
33、b
34、.问题(2).如何定义向量数量积的几何意义?由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质.几何意义:数量积a•b等于a的长度与b在a方向上投影
35、b
36、
37、cosq的乘积。性质:设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量。①e•a=a•e=
38、a
39、cosq②a^bÛa•b=0③当a与b同向时,a•b=
40、a
41、
42、b
43、;当a与b反向时,a•b=-
44、a
45、
46、b
47、。特别的a•a=
48、a
49、2或强调:▏a+b▕=▁▁▁▁▁▁▁▁▁;④cosq=(
50、a
51、
52、b
53、≠0)⑤
54、a×b
55、≤
56、a
57、
58、b
59、4.向量数量积的运算满足:1.交换律:a•b=b•a2.数乘结合律:(a)•b=(a•b)=a•(b)3.分配律:(a+b)•c=a•c+b•c例1.已知:【巩固练习】3.判断下列各题正确与否:①若a=0,则对任一向
60、量b,有a•b=0.()②若a¹0,则对任一非零向量b,有a•b¹0.()③若a¹0,a•b=0,则b=0.()④若a•b=0,则a、b至少有一个为零.()⑤若a¹0,a•b=a•c,则b=c.()⑥若a•b=a•c,则b=c当且仅当a¹0时成立.()⑦对任意向量a、b、c,有(a•b)•c¹a•(b•c).()⑧对任意向量a,有a2=
61、a
62、2.()【学习反思】【作业布置】
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