2019-2020年高中数学 2.5从力做的功到向量的数量积同步教学例题讲解 北师大版必修4

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1、2019-2020年高中数学2.5从力做的功到向量的数量积同步教学例题讲解北师大版必修4【学习目标】（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【学习重点】向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律.【学习难点】运算律的理解【知识衔接】1.已知(x1,y1)(x2,y2)求+，-的坐标；2.已知(x,y)和实数λ,求λ的坐标；3.已知，求的坐标；4.向

2、量、共线的两种判定方法：∥()▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁、▁▁▁▁▁。【学习过程】1.由力做的功：W=

3、F

4、•

5、s

6、cosq，q是F与s的夹角；可以定义：平面向量数量积（内积）的定义，a•b=

7、a

8、

9、b

10、cosq，并规定0与任何向量的数量积为0。×2.向量夹角的概念：▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁。范围0°≤q≤180°。由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别；要注意的几个问题：①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定。②两个向量的数量积称为内积，写成a•b；今后要学到两个向量的外积

11、a×b，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。OaAcbab③在实数中，若a¹0，且a•b=0，则b=0；但是在数量积中，若a¹0，且a•b=0，不能推出b=0。因为其中cosq有可能为0.这就得性质2.④已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bcÞa=c.但是a•b=b•cÞa=c如右图：a•b=

12、a

13、

14、b

15、cosb=

16、b

17、

18、OA

19、b•c=

20、b

21、

22、c

23、cosa=

24、b

25、

26、OA

27、Þa•b=b•c但a¹c⑤在实数中，有(a•b)c=a(b•c)，但是(a•b)c¹a(b•c)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而

28、一般a与c不共线.3.问题(1).射影的概念是如何定义的，举例（或画图）说明；并指出应注意哪些问题.AOOBOB1OabqAOOBOB1OabqAOOBO(B1)Oabq定义：

29、b

30、cosq叫做向量b在a方向上的射影。注意：①射影也是一个数量，不是向量。②当q为锐角时射影为正值；当q为钝角时射影为负值；当q为直角时射影为0；当q=0°时射影为

31、b

32、；当q=180°时射影为-

33、b

34、.问题(2).如何定义向量数量积的几何意义？由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质.几何意义：数量积a•b等于a的长度与b在a方向上投影

35、b

36、

37、cosq的乘积。性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。①e•a=a•e=

38、a

39、cosq②a^bÛa•b=0③当a与b同向时，a•b=

40、a

41、

42、b

43、；当a与b反向时，a•b=-

44、a

45、

46、b

47、。特别的a•a=

48、a

49、2或强调：▏a+b▕=▁▁▁▁▁▁▁▁▁；④cosq=（

50、a

51、

52、b

53、≠0）⑤

54、a×b

55、≤

56、a

57、

58、b

59、4.向量数量积的运算满足：1.交换律：a•b=b•a2.数乘结合律：(a)•b=(a•b)=a•(b)3.分配律：(a+b)•c=a•c+b•c例1.已知：【巩固练习】3.判断下列各题正确与否：①若a=0，则对任一向

60、量b，有a•b=0.()②若a¹0，则对任一非零向量b，有a•b¹0.()③若a¹0，a•b=0，则b=0.()④若a•b=0，则a、b至少有一个为零.()⑤若a¹0，a•b=a•c，则b=c.()⑥若a•b=a•c，则b=c当且仅当a¹0时成立.()⑦对任意向量a、b、c，有(a•b)•c¹a•(b•c).()⑧对任意向量a，有a2=

61、a

62、2.()【学习反思】【作业布置】