第2章+贝叶斯决策

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1、贝叶斯决策理论BayesianDecisionTheory贝叶斯决策理论引言贝叶斯决策常用的准则分类器，判别函数，决策面正态分布的判别函数Bayesian置信网引言机器自动识别分类，能不能避免错分类，做到百分之百正确？怎样才能减少错误？错分类往往难以避免，因此就要考虑减小因错分类造成的危害损失，那么有没有可能对危害大的错误严格控制？什么是先验概率、类概率密度函数和后验概率？它们的定义和相互关系如何?贝叶斯公式正是体现三者关系的式子。引言贝叶斯决策理论贝叶斯统计决策理论是处理模式分类问题的基本理论之一，对模式分析和分类器

2、（Classifier）的设计起指导作用。贝叶斯决策的两个要求各个类别的总体概率分布(先验概率和类条件概率密度)是已知的要决策分类的类别数是一定的引言在连续情况下，假设对要识别的物理对象有d种特征观察量x1,x2,…xd，这些特征的所有可能的取值范围构成了d维特征空间。称向量假设要研究的分类问题有c个类别，类型空间表示为：为d维特征向量。引言评价决策有多种标准，对于同一个问题，采用不同的标准会得到不同意义下“最优”的决策。贝叶斯决策常用的准则：最小错误率准则最小风险准则Neyman-Pearson准则最小最大决策准则贝

3、叶斯决策理论引言贝叶斯决策常用的准则分类器，判别函数，决策面正态分布的判别函数Bayesian置信网Bayes决策准则最小错误率准则最小风险准则Neyman-Pearson准则最小最大决策准则最小错误率准则黑色：第一类粉色：第二类绿色：哪一类？统计决策理论就是根据每一类总体的概率分布决定未知类别的样本属于哪一类！最小错误率准则先验概率：类条件概率：后验概率：贝叶斯公式未获得观测数据之前类别的分布观测数据在各类别种情况下的分布X属于哪一类的概率其中：最小错误率准则例：医生要根据病人血液中白细胞的浓度来判断病人是否患血液病

4、。两类识别问题：患病，未患病根据医学知识和以往的经验，医生知道：患病的人，白细胞的浓度服从均值2000方差1000的正态分布；未患病的人，白细胞的浓度服从均值7000，方差3000的正态分布；（类条件概率）一般人群中，患病的人数比例为0.5%；（先验概率）一个人的白细胞浓度时3100，医生应该做出怎样的判断？（后验概率？）最小错误率准则数学表示：Ω：表示类别这一随机变量ω1：表示患病ω2：表示不患病X：表示白细胞浓度这一随机变量x：表示白细胞浓度值最小错误率准则医生根据已经掌握的知识知道类别的先验分布：先验概率分布：未

5、获得观测数据（病人白细胞浓度）之前类别的分布。最小错误率准则观测数据白细胞浓度分别在两种情况下的类条件概率分布：已知先验分布和观测值的类条件概率分布，就可以用贝叶斯理论求得x属于哪一类的后验概率：和最小错误率准则最小错误率准则以先验概率、类条件概率密度、特征值（向量）为输入以后验概率作为类别判断的依据贝叶斯公式保证了错误率最小最小错误率准则最小错误率的贝叶斯决策规则为：如果大于，则把x归于患病状态，反之则归于未患病状态。（最大后验概率决策）x1=x2?最小错误率准则最小错误率准则的平均错误率：x2=x3x2和x3都是p

6、(x,ω1)=p(x,ω2)的根，因此是两类分界最小错误率准则最小错误率准则的平均错误率：记平均错误率为P(e)，令t=x2=x3，则最小错误率准则平均错误率是否最小？最小错误率准则似然比公式则：等价于：似然比公式最小错误率准则特例1：最小错误率准则特例2：最小错误率准则形式逻辑（经典确定性推理）以鲈鱼和鲑鱼分类为例：假言：如果鱼的长度大于45cm，则该鱼为鲈鱼，否则该鱼为鲑鱼前提：现在某条鱼结论：该鱼为鲑鱼概率推理（不确定性推理）最小错误率准则例子：给定，类条件概率密度如图。现有一条鱼x=38cm，若采用最小错误率决

7、策，该鱼应该为哪一类？故判决：Bayes决策准则最小错误率准则最小风险准则Neyman-Pearson准则最小最大决策准则最小风险准则最小风险贝叶斯决策：考虑各种错误造成损失不同而提出的一种决策规则。条件风险：最小风险准则期望风险：对于x的不同观察值，采取决策αi时，其条件风险大小是不同的。所以究竟采取哪一种决策将随x的取值而定。这样，决策α可以看成随机向量x的函数，记为α(x)。可以定义期望风险Rexp为：期望风险反映对整个空间上所有x的取值采取相应的决策α(x)所带来的平均风险。最小风险准则两分类问题的例子：似然比

8、公式最小风险准则不同的损失函数决定了不同的似然比判决阈值θ：θa：0-1损失θb：λ12>λ21每一类的判决域可能是不连续的!最小风险准则最小风险贝叶斯决策的步骤：1）根据先验概率和类条件概率计算出后验概率；2）利用后验概率和损失矩阵计算采取每种决策的条件风险；3）比较各个条件风险的值，条件风险最小的决策即为最小风险贝叶斯决策最小