正文描述:《2017-2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线2.4.2抛物线的简单几何性质优化练习新人教A版选修2 》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.4.2抛物线的简单几何性质[课时作业][A组 基础巩固]1.已知抛物线的对称轴为x轴,顶点在原点,焦点在直线2x-4y+11=0上,则此抛物线的方程是( )A.y2=-11xB.y2=11xC.y2=-22xD.y2=22x解析:在方程2x-4y+11=0中,令y=0得x=-,∴抛物线的焦点为F,即=,∴p=11,∴抛物线的方程是y2=-22x,故选C.答案:C2.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则( )A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点解析:∵直线y=kx-k=k(x-1
2、),∴直线过点(1,0).又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部.∴当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.答案:C3.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则kOA·kOB的值为( )A.4B.-4C.p2D.-p2解析:kOA·kOB=·=,根据焦点弦的性质x1x2=,y1y2=-p2,故kOA·kOB==-4.答案:B4.已知直线l:y=k(x-2)(k>0)与抛物线C:y2=8x交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若
3、AF
4、=2
5、BF
6、,则k的值是( )A.B.C.2D.解析:根据
7、题意画图,如图所示,直线m为抛物线的准线,过点A作AA1⊥m,过点B作BB1⊥m,垂足分别为A1,B1,过点B作BD⊥AA1于点D,设
8、AF
9、=2
10、BF
11、=2r,则
12、AA1
13、=2
14、BB1
15、=2
16、A1D
17、=2r,所以
18、AB
19、=3r,
20、AD
21、=r,则
22、BD
23、=2r.所以k=tan∠BAD==2.选C.答案:C5.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )A.2B.3C.D.解析:设直线AB的方程为x=ny+m(如图),A(x1,y1),B(x2,y2),∵·=2,∴x1x2+y1y2=2.又
24、y=x1,y=x2,∴y1y2=-2.联立得y2-ny-m=0,∴y1y2=-m=-2,∴m=2,即点M(2,0).又S△ABO=S△AMO+S△BMO=
25、OM
26、
27、y1
28、+
29、OM
30、
31、y2
32、=y1-y2,S△AFO=
33、OF
34、·
35、y1
36、=y1,∴S△ABO+S△AFO=y1-y2+y1=y1+≥2=3,当且仅当y1=时,等号成立.答案:B6.直线y=x-1被抛物线y2=4x截得的线段的中点坐标是________.解析:将y=x-1代入y2=4x,整理,得x2-6x+1=0.由根与系数的关系,得x1+x2=6,=3,∴===2.∴所求点的坐标为(3,2).答案:(3,2)7.过抛物线y2=4
37、x的焦点作直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),若
38、AB
39、=7,则AB的中点M到抛物线准线的距离为________.解析:抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.由抛物线的定义知
40、AB
41、=
42、AF
43、+
44、BF
45、=x1++x2+=x1+x2+p,即x1+x2+2=7,得x1+x2=5,于是弦AB的中点M的横坐标为.因此,点M到抛物线准线的距离为+1=.答案:8.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为________.解析:抛物线y2=2px的准线为直线x=-,而点A(-2,3)在准线
46、上,所以-=-2,即p=4,从而C:y2=8x,焦点为F(2,0).设切线方程为y-3=k(x+2),代入y2=8x得y2-y+2k+3=0(k≠0)①,由于Δ=1-4×(2k+3)=0,所以k=-2或k=.因为切点在第一象限,所以k=.将k=代入①中,得y=8,再代入y2=8x中得x=8,所以点B的坐标为(8,8),所以直线BF的斜率为=.答案:9.已知抛物线y2=6x,过点P(4,1)引一弦,使它恰在点P被平分,求这条弦所在的直线方程.解析:设弦的两个端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2).∵P1,P2在抛物线上,∴y=6x1,y=6x2.两式相减得(y1+y2)(y1-y2
47、)=6(x1-x2).①∵y1+y2=2,代入①得k==3.∴直线的方程为y-1=3(x-4),即3x-y-11=0.10.已知抛物线y2=4x截直线y=2x+m所得弦长AB=3,(1)求m的值;(2)设P是x轴上的一点,且△ABP的面积为9,求P点的坐标.解析:(1)由⇒4x2+4(m-1)x+m2=0,由根与系数的关系得x1+x2=1-m,x1·x2=,
48、AB
49、=·=·=.由
50、AB
51、=3,即=3⇒m=-4.(2)设P(a,0),P到直线AB
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