2017-2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线2.4.2抛物线的简单几何性质优化练习新人教A版选修2

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1、2.4.2抛物线的简单几何性质[课时作业][A组 基础巩固]1.已知抛物线的对称轴为x轴,顶点在原点,焦点在直线2x-4y+11=0上,则此抛物线的方程是(  )A.y2=-11xB.y2=11xC.y2=-22xD.y2=22x解析:在方程2x-4y+11=0中,令y=0得x=-,∴抛物线的焦点为F,即=,∴p=11,∴抛物线的方程是y2=-22x,故选C.答案:C2.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则(  )A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点解析:∵直线y=kx-k=k(x-1

2、),∴直线过点(1,0).又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部.∴当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.答案:C3.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则kOA·kOB的值为(  )A.4B.-4C.p2D.-p2解析:kOA·kOB=·=,根据焦点弦的性质x1x2=,y1y2=-p2,故kOA·kOB==-4.答案:B4.已知直线l:y=k(x-2)(k>0)与抛物线C:y2=8x交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若

3、AF

4、=2

5、BF

6、,则k的值是(  )A.B.C.2D.解析:根据

7、题意画图,如图所示,直线m为抛物线的准线,过点A作AA1⊥m,过点B作BB1⊥m,垂足分别为A1,B1,过点B作BD⊥AA1于点D,设

8、AF

9、=2

10、BF

11、=2r,则

12、AA1

13、=2

14、BB1

15、=2

16、A1D

17、=2r,所以

18、AB

19、=3r,

20、AD

21、=r,则

22、BD

23、=2r.所以k=tan∠BAD==2.选C.答案:C5.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(  )A.2B.3C.D.解析:设直线AB的方程为x=ny+m(如图),A(x1,y1),B(x2,y2),∵·=2,∴x1x2+y1y2=2.又

24、y=x1,y=x2,∴y1y2=-2.联立得y2-ny-m=0,∴y1y2=-m=-2,∴m=2,即点M(2,0).又S△ABO=S△AMO+S△BMO=

25、OM

26、

27、y1

28、+

29、OM

30、

31、y2

32、=y1-y2,S△AFO=

33、OF

34、·

35、y1

36、=y1,∴S△ABO+S△AFO=y1-y2+y1=y1+≥2=3,当且仅当y1=时,等号成立.答案:B6.直线y=x-1被抛物线y2=4x截得的线段的中点坐标是________.解析:将y=x-1代入y2=4x,整理,得x2-6x+1=0.由根与系数的关系,得x1+x2=6,=3,∴===2.∴所求点的坐标为(3,2).答案:(3,2)7.过抛物线y2=4

37、x的焦点作直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),若

38、AB

39、=7,则AB的中点M到抛物线准线的距离为________.解析:抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.由抛物线的定义知

40、AB

41、=

42、AF

43、+

44、BF

45、=x1++x2+=x1+x2+p,即x1+x2+2=7,得x1+x2=5,于是弦AB的中点M的横坐标为.因此,点M到抛物线准线的距离为+1=.答案:8.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为________.解析:抛物线y2=2px的准线为直线x=-,而点A(-2,3)在准线

46、上,所以-=-2,即p=4,从而C:y2=8x,焦点为F(2,0).设切线方程为y-3=k(x+2),代入y2=8x得y2-y+2k+3=0(k≠0)①,由于Δ=1-4×(2k+3)=0,所以k=-2或k=.因为切点在第一象限,所以k=.将k=代入①中,得y=8,再代入y2=8x中得x=8,所以点B的坐标为(8,8),所以直线BF的斜率为=.答案:9.已知抛物线y2=6x,过点P(4,1)引一弦,使它恰在点P被平分,求这条弦所在的直线方程.解析:设弦的两个端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2).∵P1,P2在抛物线上,∴y=6x1,y=6x2.两式相减得(y1+y2)(y1-y2

47、)=6(x1-x2).①∵y1+y2=2,代入①得k==3.∴直线的方程为y-1=3(x-4),即3x-y-11=0.10.已知抛物线y2=4x截直线y=2x+m所得弦长AB=3,(1)求m的值;(2)设P是x轴上的一点,且△ABP的面积为9,求P点的坐标.解析:(1)由⇒4x2+4(m-1)x+m2=0,由根与系数的关系得x1+x2=1-m,x1·x2=,

48、AB

49、=·=·=.由

50、AB

51、=3,即=3⇒m=-4.(2)设P(a,0),P到直线AB

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1、2.4.2抛物线的简单几何性质[课时作业][A组 基础巩固]1.已知抛物线的对称轴为x轴,顶点在原点,焦点在直线2x-4y+11=0上,则此抛物线的方程是(  )A.y2=-11xB.y2=11xC.y2=-22xD.y2=22x解析:在方程2x-4y+11=0中,令y=0得x=-,∴抛物线的焦点为F,即=,∴p=11,∴抛物线的方程是y2=-22x,故选C.答案:C2.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则(  )A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点解析:∵直线y=kx-k=k(x-1

2、),∴直线过点(1,0).又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部.∴当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.答案:C3.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则kOA·kOB的值为(  )A.4B.-4C.p2D.-p2解析:kOA·kOB=·=,根据焦点弦的性质x1x2=,y1y2=-p2,故kOA·kOB==-4.答案:B4.已知直线l:y=k(x-2)(k>0)与抛物线C:y2=8x交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若

3、AF

4、=2

5、BF

6、,则k的值是(  )A.B.C.2D.解析:根据

7、题意画图,如图所示,直线m为抛物线的准线,过点A作AA1⊥m,过点B作BB1⊥m,垂足分别为A1,B1,过点B作BD⊥AA1于点D,设

8、AF

9、=2

10、BF

11、=2r,则

12、AA1

13、=2

14、BB1

15、=2

16、A1D

17、=2r,所以

18、AB

19、=3r,

20、AD

21、=r,则

22、BD

23、=2r.所以k=tan∠BAD==2.选C.答案:C5.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(  )A.2B.3C.D.解析:设直线AB的方程为x=ny+m(如图),A(x1,y1),B(x2,y2),∵·=2,∴x1x2+y1y2=2.又

24、y=x1,y=x2,∴y1y2=-2.联立得y2-ny-m=0,∴y1y2=-m=-2,∴m=2,即点M(2,0).又S△ABO=S△AMO+S△BMO=

25、OM

26、

27、y1

28、+

29、OM

30、

31、y2

32、=y1-y2,S△AFO=

33、OF

34、·

35、y1

36、=y1,∴S△ABO+S△AFO=y1-y2+y1=y1+≥2=3,当且仅当y1=时,等号成立.答案:B6.直线y=x-1被抛物线y2=4x截得的线段的中点坐标是________.解析:将y=x-1代入y2=4x,整理,得x2-6x+1=0.由根与系数的关系,得x1+x2=6,=3,∴===2.∴所求点的坐标为(3,2).答案:(3,2)7.过抛物线y2=4

37、x的焦点作直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),若

38、AB

39、=7,则AB的中点M到抛物线准线的距离为________.解析:抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.由抛物线的定义知

40、AB

41、=

42、AF

43、+

44、BF

45、=x1++x2+=x1+x2+p,即x1+x2+2=7,得x1+x2=5,于是弦AB的中点M的横坐标为.因此,点M到抛物线准线的距离为+1=.答案:8.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为________.解析:抛物线y2=2px的准线为直线x=-,而点A(-2,3)在准线

46、上,所以-=-2,即p=4,从而C:y2=8x,焦点为F(2,0).设切线方程为y-3=k(x+2),代入y2=8x得y2-y+2k+3=0(k≠0)①,由于Δ=1-4×(2k+3)=0,所以k=-2或k=.因为切点在第一象限,所以k=.将k=代入①中,得y=8,再代入y2=8x中得x=8,所以点B的坐标为(8,8),所以直线BF的斜率为=.答案:9.已知抛物线y2=6x,过点P(4,1)引一弦,使它恰在点P被平分,求这条弦所在的直线方程.解析:设弦的两个端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2).∵P1,P2在抛物线上,∴y=6x1,y=6x2.两式相减得(y1+y2)(y1-y2

47、)=6(x1-x2).①∵y1+y2=2,代入①得k==3.∴直线的方程为y-1=3(x-4),即3x-y-11=0.10.已知抛物线y2=4x截直线y=2x+m所得弦长AB=3,(1)求m的值;(2)设P是x轴上的一点,且△ABP的面积为9,求P点的坐标.解析:(1)由⇒4x2+4(m-1)x+m2=0,由根与系数的关系得x1+x2=1-m,x1·x2=,

48、AB

49、=·=·=.由

50、AB

51、=3,即=3⇒m=-4.(2)设P(a,0),P到直线AB

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