2019-2020年高三统练试卷（数学理）

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2019-2020年高三统练试卷（数学理）考生须知1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分,考试时间为120分钟．2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．3.考试结束后，将答题卡交回，试卷按学校要求保存好．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）.1.已知全集，集合，，那么集合()A．B．C．D．2.是虚数单位，若，则的值是（）A．B．C．D．的值为（）A．B．C．D．4.甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示甲茎乙571688822367设分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（）A．，B．，C．，D．，5.已知表示两个不同的平面，a，b表示两条不同的直线，则a∥b的一个充分条件是（）A．a∥,b∥B．a∥，b∥，∥C．⊥，a⊥，b∥D．a⊥，b⊥，∥6.的展开式中常数项为（）A．B．C．D．7.已知数列的通项公式,设其前n项和为，则使成立的自然数有　　　　　（　）　A．最大值15　　　B．最小值15　　C．最大值16　　　D．最小值168.已知集合，，定义函数．若点，，，的外接圆圆心为D，且，则满足条件的函数有（）A．6个B．10个C．12个D．16个 第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）.9.函数的最小正周期是_______，最大值是__________．开始否输出S结束是10.如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填．11.如图，已知是⊙O的切线，切点为，交⊙O于、两点，，，，则的长为_____，的大小为________．12.在平面直角坐标系中，设是由不等式组表示的区域， 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向中随机投一点，则所投点落在中的概率是　　　．13.已知圆C的圆心是直线与x轴的交点，且圆C与直线相切，则圆C的方程为．14.如图所示，是定义在区间（）上的奇函数，令，并有关于函数的四个论断：①若，对于内的任意实数（），恒成立；②函数是奇函数的充要条件是；③若，，则方程必有3个实数根；④，的导函数有两个零点；其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．15.（本小题共13分）在中，角A、B、C的对边分别为、、，角A、B、C成等差数列，，边的长为．（I）求边的长；（II）求的面积．16．（本小题共13分）已知正方形ABCD的边长为1，．将正方形ABCD沿对角线折起，使，得到三棱锥A—BCD，如图所示．（I）若点M是棱AB的中点，求证：OM∥平面ACD；（II）求证：；（III）求二面角的余弦值． 17.（本小题共13分）某同学设计一个摸奖游戏：箱内有红球3个，白球4个，黑球5个．每次任取一个，有放回地抽取3次为一次摸奖．至少有两个红球为一等奖，记2分；红、白、黑球各一个为二等奖，记1分；否则没有奖，记0分．（I）求一次摸奖中一等奖的概率；（II）求一次摸奖得分的分布列和期望．18．（本小题共13分）在平面直角坐标系中，已知圆的圆心为，过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点．（Ⅰ）求圆的面积；（Ⅱ）求的取值范围；（Ⅲ）是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．19．（本小题共14分）设函数．（Ⅰ）求函数的定义域及其导数；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间；（Ⅲ）当时，令，若在上的最大值为，求实数的值．20．（本小题共14分）已知数列中，，设．（Ⅰ）试写出数列的前三项；（Ⅱ）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（Ⅲ）设的前项和为，求证：．房山区高三统练阅卷参考答案(数学理科)才1[B]2[C]3[D]4[B]5[D]单选题6[A]7[D]8[C] 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）.9.，.10..11.，.12..13..14.①②（只写出1个正确序号得2分，有错误序号不得分）.三、解答题：本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．15.（本小题共13分）解：（I）角A、B、C成等差数列，2B=A+C.---------------------1分A+C=，3B=，B=.---------------------2分法一：，，.---------------------3分又，，.---------------------4分法二：，由，得.---------------------3分又，，.---------------------4分由正弦定理得，，----------------------6分.---------------------7分（II）----------------------8分---------------------11分或者----------------------8分---------------------11分的面积.---------------------13分 16．（本小题共13分）解：(I)在正方形ABCD中，是对角线的交点，O为BD的中点，---------------------1分又M为AB的中点，OM∥AD.---------------------2分又AD平面ACD，OM平面ACD，---------------------3分OM∥平面ACD.---------------------4分（II）证明：在中，，，---------------------5分，.---------------------6分又是正方形ABCD的对角线，，--------------------7分又.--------------------8分（III）由（II）知，则OC，OA，OD两两互相垂直，如图，以O为原点，建立空间直角坐标系.则，是平面的一个法向量.--------------------9分，，设平面的法向量,则，.即，--------------------11分所以且令则，，解得.--------------------12分从而，二面角的余弦值为.---------------------13分 17.（本小题共13分）解：（I）每次有放回地抽取，取到红球的概率为；取到白球的概率为；取到黑球的概率为；---------------------3分一次摸奖中一等奖的概率为．---------------------5分（II）设表示一次摸奖的得分，则可能的取值为0，1，2．---------------------6分；；---------------------8分--------------------10分一次摸奖得分的分布列为210P---------------------11分期望为．---------------------13分 18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）圆的方程可化为，可得圆心为，半径为2，故圆的面积为．---------------------3分（Ⅱ）设直线的方程为．法一：将直线方程代入圆方程得，整理得．　①---------------------4分直线与圆交于两个不同的点等价于，---------------------6分解得，即的取值范围为．---------------------8分法二：直线与圆交于两个不同的点等价于---------------------5分化简得，解得，即的取值范围为．---------------------8分（Ⅲ）设，则，由方程①，　　　　②又．　③---------------------10分而．所以与共线等价于，---------------------11分将②③代入上式，解得．---------------------12分由（Ⅱ）知，故没有符合题意的常数.---------------------13分 19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由得，即函数的定义域为（0,2）；---------------------2分．---------------------4分（Ⅱ）当时，（1）当时，，所以在区间上，，故函数的单调递增区间是；---------------------5分（2）当时，令，解得，①当时，即时，在区间上，，故函数的单调递增区间是；---------------------7分②当时，即时，在区间上，，在区间上，，故函数的单调递增区间是，单调递减区间是．---------------------9分（Ⅲ）当且时，，--------------------11分即函数在区间上是增函数，故函数在上的最大值为，--------------------12分所以，即．---------------------14分 20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由，得，.由，可得，，.---------------------3分（Ⅱ）证明：因，故.---------------------5分显然，因此数列是以为首项，以2为公比的等比数列，即.---------------------7分解得.---------------------8分（Ⅲ）因为,所以；---------------------11分又（当且仅当时取等号），故.综上可得.---------------------14分