2019-2020年新课标人教A版必修二第四章 圆与方程 （教案）

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1、2019-2020年新课标人教A版必修二第四章圆与方程（教案）求圆的方程求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：第一步：选择圆的方程的某一形式；第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；第三步：解出a，b，r(或D，E，F)；第四步：代入圆的方程．注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；两圆相切时，连心线过切点等．　已知圆的半径为，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为4，求圆的方

2、程．【思路点拨】　解题流程可为：→→→→【规范解答】　法一　设圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝10.因为圆心在直线y＝2x上，所以b＝2a.①由方程组得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0，所以x1＋x2＝a＋b，x1·x2＝.由弦长公式得·＝4，化简得(a－b)2＝4.②解①②组成的方程组，得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.法二　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，则圆心为(a，b)，半径r＝，圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离d＝.由半弦长、弦心距、半径组成的直角三角形得d

3、2＋2＝r2，即＋8＝10，所以(a－b)2＝4.又因为b＝2a，所以a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.求圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程．【解】　法一　设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则有解得a＝1，b＝－4，r＝2.故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.法二过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1,－4)．故半径r＝＝2，于是所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝

4、8.直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线．直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路：(1)代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式Δ>0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d，圆半径为r，则弦长l＝2.解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理．　已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且

5、AB

6、＝2，求直线l的方程．【思路点拨】　分斜率存在与不存在两种情况．(1)⇒⇒⇒⇒(2

7、)⇒【规范解答】(1)当直线l存在斜率时，设直线l的方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.作示意图如图，MC⊥AB于C.在Rt△MBC中，

8、BC

9、＝

10、AB

11、＝，

12、MB

13、＝2，故

14、MC

15、＝＝1，由点到直线的距离公式得＝1，解得k＝.故直线l的方程为3x－4y＋6＝0.(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，且

16、AB

17、＝2，所以符合题意．综上所述，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2.已知圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，并且与直线x＋y＝0相切于点Q(3，－)，求圆C的方程．【解】　设所求圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心C(a，b)与Q(3，－)

18、的连线垂直于直线x＋y＝0，且斜率为.由题意得解得或∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.轨迹问题求轨迹方程的步骤：(1)建系设点；(2)列出动点满足的轨迹条件；(3)把轨迹条件坐标化；(4)化简整理；(5)检验．在检验中要排除不符合要求的点，或者补充上漏掉的部分．检验一般有两种：一种是文字说明，一种是式子说明．所谓式子说明，就是用式子注明方程中x或y的取值条件(即范围)，由于式子说明的形式往往比文字说明显得清楚，因此一般采用这种方法．求曲线的方程或者求动点的轨迹方程是解析几何中重要的题型，解答这种问题常用的方法有直接法、定义法、消参法、代入法等．　如图4－1，

19、圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN，(M，N分别为切点)，使得

20、PM

21、＝

22、PN

23、，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．图4－1【思路点拨】　由△PMO1与△PNO2均为直角三角形表示出切线长

24、PM

25、与

26、PN

27、，建立坐标系后，设出P点坐标即可由等式

28、PM

29、＝

30、PN

31、求出P点的轨迹方程．【规范解答】　如图，以O1，O2所在直线为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建