北航张量讲义4

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1、第四章一般张量一般张量定义在一般坐标系上。一般坐标系包括了直线坐标系和曲线坐标系，笛卡儿直角坐标系是基为标准基的直线坐标系。所以，在一般坐标系中，基不一定是标准基，其坐标变换不一定是正交变换。为了维持张量式的不变性，需引进两组基——协变基和逆变基，从而产生不同类型的张量——协变张量、逆变张量和混变张量。（一般坐标系下的指标约定：为了区别不同类型的基和张量，需同时采用上标与下标，并修改求和约定：²除自然坐标系外，坐标采用上标变量（4.1）²自然坐标系下的，上标变量与下标变量有相同的含义（4.2）²哑标必须在上下标中各取一个（4.3）²偏导数分母中的上下

2、标与分子指标相同时，构成哑标（4.4）²用括号来区分指数与上标xi的平方为(xi)2)4.1一般坐标系中的基向量第一章已说明，一般坐标系中，空间点P的位置由坐标yi通过变换确定（4.5）,物理空间中自然坐标系坐标，变换空间中一般坐标系坐标，，到的变换（正变换）。84y2y1y3x1x3x2变换空间物理空间T:T-1:线线线几何上（如图）把变换空间的点P¢变换为物理空间点P，把变换空间坐标面（垂直于坐标轴，面上一个坐标保持常数）组成的六面体变换为物理空间坐标面组成的曲面六面体。六面体上坐标面的交线即为坐标线。P点有三条坐标线，其向量方程为（4.6）据向

3、量导数的几何意义知，坐标线的切向量为（4.7）另一方面，的Jacobi矩阵为（4.8）可见的列向量即为切线向量。考虑到行列式与混合积的关系，的Jacobi行列式为（4.9）84因为坐标变换为可逆变换，由上式，向量组不共面，即向量组线性无关，且有逆变换存在（4.10）逆变换可视为物理空间的三个标量场，有三个梯度向量（4.11）梯度垂直于等值面，则分别与相应的坐标面垂直，也就与坐标面内的向量垂直（如图）。下面我们讨论两组向量的关系，并证明的线性无关性。逆变换的Jacobi矩阵为（4.12）可见的行向量为梯度向量gi，因此的Jacobi行列式可表示为（4.

4、13a）与满足正交归一条件，即（4.13）因为这说明正逆Jacobi矩阵是互逆关系（4.14）上式求行列式得（4.15）这表明，正逆Jacobi行列式均不为零，且有相同的符号。由（4.13a）知是线性无关的,且84（4.16）综上所述，与均为线性无关的向量组，二者为互逆的一一对应的对偶关系，都可作为张量空间的基，称为协变基，称为逆变基，二者互为对偶基。通过（4.14）式，我们可从任一组基向量求得另一组基向量。此外，由与的定义不难看出，一般情况下，它们都是空间点的函数，不一定正交，也不一定为单位向量。自然要问，我们为什么不选择较为简单的自然基或标准基？

5、下面例子说明了这个问题。例1（4.3）式中，粒子的速度可表示为可看出，等式右端含有协变基，为了维持张量式的不变性，我们必须取协变基作为yi系下的基，从而有例2（4.4）式中，标量场的梯度为同样，为了维持张量的不变性，必须取逆变基作为yi系下的基，使上两例说明，在一般坐标系下，若要使张量式与直角坐标系保持一致，张量的基不能任意取，有的张量需取协变基，有的则应取逆变基，另一些即可取协变基，也可取逆变基。实用上，逆变换一般是未知的，我们可先通过正变换求协变基，然后通过互逆关系（4.14）求逆变基。此外，还有一种适合于手工计算的简单方法求逆变基。例如，因与与

6、与垂直，故有又所以有（4.17）最后指出，自然坐标系的变换可视为自身到自身的恒等变换，所以有所以自然基也包含于协变基与逆变基之中。例4－1直线坐标系的坐标变换为84（4.18）试求协变基和逆变基。解：（4.18a）（4.18b）本例说明直线坐标系的协变基和逆变基都是常向量。本例中协变基为非正交单位向量，逆变基为非正交非单位向量，协变基向量和坐标系的几何图象如下图所示。T:T-1:变换空间物理空间线线线例4－2柱坐标系的坐标变换为（4.19）试求协变基和逆变基。解：引入指标变量，，（4.19）式写为（4.20）84所以有可见柱坐标系的基向量为空间坐标的

7、函数。在曲线坐标中，协变基和逆变基都是空间坐标的函数，所以称为局部基向量。不难看出，柱坐标系的基为正交非单位向量，协变基向量和坐标系的几何图象如下图所示。T:T-1:变换空间线线线物理空间例4－3求向量在例4－1协变基和逆变基下的分量。解：在协变基下，可写为（4.21）称的逆变分量。用点乘上式，（4.22）则可写为（4.23）同理有（4.24）84称的协变分量。由此可见,协变基和逆变基的引入，使得向量在任意坐标系的分量求解式的形式保持不变，从而满足了张量方程的不变性要求。由（4.18a，b）（4.23）（4.24）得4.2坐标变换与一般张量4．2．1

8、基向量的变换设有两个坐标系：老系与新系，相应的坐标变换为（4.25）上式为一一对应的可逆关系，必有（4.26