九年级数学上册 第二十一章 21.3 实际问题与一元二次方程备课资料教案 （新版）新人教版

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1、第二十一章21.3实际问题与一元二次方程知识点1：列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)审:审题,要弄清已知量和未知量以及问题中的等量关系;(2)设:设未知数,根据题意,可直接设也可间接设,未知数必须写明单位,语言叙述要完整;(3)列:列代数式和方程,用含有所设未知数的代数式表示其他未知数,利用等量关系,列出方程;(4)解:求出方程的解;(5)验:检验方程的解是否正确,是否符合题意;(6)答:给出符合题目要求的答案.注意：在这些步骤中,审题是解题的基础,列方程是解题的关键.在列方程时,要注意列出的方程必须满足以下三个条件:(1)方程两边表示的是同类量;(2

2、)方程两边的同类量的单位一样;(3)方程两边的数值相等.知识点2：传播问题按一定传播速度传播的问题在现实世界中有许多原型,如:细胞分裂、信息传播、传染病扩散、复利计算等.如果每轮传播中平均一个传播源传给x个,那么第一轮传播源有1个,第一轮传播后共有(1+x)个被传播;第二轮传播源有(1+x)个,第二轮传播后共有[1+x+x(1+x)]个被传播…….下面以流感传播为例加以说明:如有a个人患流感,一轮中每人传染给x人,两轮传染后共有b人患流感,那么:一轮传染后患流感人数为a+ax=a(1+x);两轮传染后患流感人数为a(1+x)+a(1+x)x=a(1+x)2;

3、可列出方程:a(1+x)2=b.关键提醒:(1)我们假设最早的传播源一直在继续传播,虽然实际问题与此不一定完全一致,但这样假设便于用一元二次方程作为实际问题的数学模型.(2)这类问题还可以进一步推广到两轮以上的传播问题,其基本数量关系是一致的,只是如果用方程作为数学模型时会涉及更高次的方程.知识点3：平均变化率方面的问题在实际问题中,常常遇到平均增长率问题.如果原来产值的基础数为a,平均增长率为x,则对于时间n的总产值b,可以用公式b=a(1+x)n表示,解决平均增长率问题,要用这个公式;类似的还有降低率问题.归纳整理:(1)对于增长(降低)率问题,在解答时

4、要注意如下几点:①正确设出未知数x;②准确找出变化前后的两个关键值:起始值a,两次变化后的值b(a

5、目的已知条件与未知条件归结到几何图形中,然后用几何定理(比如:勾股定理)、公式(比如:面积、体积公式)等来寻找它们之间的关系,从而列出相关的一元二次方程,解这个方程并注意实际要求,看其解是否符合实际,即可使问题获解.(2)这类问题可能涉及动点问题、方案设计问题等.动点问题关键是要弄清点的运动特征,利用面积公式、体积公式或勾股定理等可列方程;方案设计问题具有较大的开放性,往往利用面积公式可列方程,解答后要注意检验其解是否符合实际.知识点5：市场经济与其他问题 市场经济与其他问题包括纳税、利息、分期付款、销售利润、匀变速运动、古诗词、数位等问题都值得关注,解答这

6、类问题时,不论背景如何变化,一定要抓住“关键词语”寻找等量关系,如销售利润=每件利润×件数,并注意根据实际意义对所列一元二次方程进行合理的取舍.考点1：解决传播的问题【例1】 某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,三轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?解:设一台每轮感染给x台电脑,依题意,得(1+x)2=81,解得x=8或-10(负值不合题意,舍去).∵　(1+8)3=729>700,∴　若病毒得不到有效控制,三轮感染后,被感染

7、的电脑会超过700台.点拨:设一台电脑每轮感染给x台电脑,则第一轮后有(1+x)台,经过第二轮感染后,共有(1+x)2台,经过第三轮感染后,共有(1+x)3台.考点2：解决平均变化率方面的问题【例2】 据报道,某省农作物秸秆的资源巨大,但合理利用量十分有限,xx年的利用率只有30%,大部分秸秆被直接焚烧了.假定我省每年产出的农作物秸秆总量不变,且合理利用量的增长率相同,要使xx年的利用率提高到60%,求每年的增长率.(取 ≈1.41)解:设我省每年产出的农作物秸秆总量为a,合理利用量的增长率是x,由题意得a·30%·(1+x)2=a·60%,即(1+x)2=

8、2.解得x1≈0.41,x2≈-2.41(不合题意,