计算方法第一章节绪论

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1、计算方法计算方法课程组华中科技大学数学与统计学院第一章绪论§1绪论§1.1数值算法概论§1.2预备知识§1.3误差§1.4题型分析与小结“计算方法”是计算数学的一个主要部分。而计算数学是数学科学的一个重要分支，它研究用计算机求解数学问题的数值计算方法及其软件实现.数值计算已经成为计算机处理实际问题的一种关键手段，它使各科学领域从定性分析阶段走向定量分析阶段，从粗糙走向精密。科学理论、科学试验和科学计算(计算的方法)是现代科学的三个组成部分。§1.1数值算法概论方程求解非线性方程或方程组、常微分方程、偏微分方程数值解法。数值代数求解线性方程组的解法（分直接方法和间接方法），求矩阵的特征值与特征向

2、量。数值逼近插值和数值逼近，数值微分和数值积分。§1.1数值算法概论—研究内容例如:1.求方程在上的根;；2.求解线性方程组,其中为3阶可逆方阵,为3.已知上的直线，满足求；4.计算定积分5.解常微分方程初值问题计算方法是一门与计算机应用密切结合的实用性很强的学科；思维方法是归纳法，核心问题是“误差”或误差分析。计算方法这门课程讨论连续变量问题又要讨论离散变量问题，关心的是数值结果。计算方法、计算数学、数值分析或数值方法这门课程已成为近代数学的一个重要分支。§1.1数值算法概论—研究对象面向计算机将计算机上不能执行的运算化为在计算机上可执行的运算。有可靠的理论分析（收敛性、稳定性、误差分析）。

3、因为可能采用了近似等价运算,故要进行误差分析,即数值的性态及数值方法的稳定性。要有好的算法，并考虑计算复杂性（时间、空间）针对所求解的数值问题研究在计算机上可执行的且有效的计算公式。要有数值试验§1.1数值算法概论—特点现实科学与工程问题的解决步骤：实际问题建立数学模型构造数值算法编程上机获取近似结果计算方法是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法随着计算机的飞速发展，数值分析方法已深入到计算物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算经济学等各个领域。本课仅介绍最常用的数学模型的最基本的数值分析方法。§1.1数值算法概论—数值算法良态与病态问题良态与病态:初始数据的的微小变化(扰动)，导致计算

4、结果的相对误差很大，这样的问题称为病态的，相反称为良态的。§1.1数值算法概论—算法的数值稳定性例：蝴蝶效应——纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京就刮起台风来了？！NYBJ误差的传播与积累导致以上问题是一个病态问题良态与病态问题§1.1数值算法概论—算法的数值稳定性例1良态与病态问题§1.1数值算法概论—算法的数值稳定性例1良态与病态问题例1初始数据相对变化1%，计算结果相对变化400%！病态！§1.1数值算法概论—算法的数值稳定性分析:例2计算数值稳定性分析例2计算数值稳定性分析例2计算数值稳定性分析例2(续)构造算法如下：1.2.n00.18200.18200.182010.08800

5、.09000.088020.05800.05000.058030.04310.08300.043140.0343-0.1650.034350.02841.02500.028460.0240-4.9580.024070.021024.9330.021080.0190-124.5400.0190对格式1，如果前一步有误差，则被放大5倍加到这一步称为不稳定格式对格式2，为稳定格式，对舍入误差有抑制作用原因：例如:求解微分方程:针对输入与输出的都是数值的数学问题.§1.1数值算法概论—数值算法返回例如:求解微分方程:将其变成数值问题，即将其“离散化”“离散化”是将非数值问题的数学模型化为数值问题的主要

6、方法，这也是计算方法的任务之一.针对输入与输出的都是数值的数学问题.§1.1数值算法概论—数值算法返回Rn空间的向量范数

7、

8、·

9、

10、对任意,满足下列条件：（正定性)对任意(齐次性)（三角不等式)§1.2预备知识—向量范数--------(1)--------(2)--------(3)--------(4)常用的向量x的范数有下述范数的几何意义是:例3求下列向量的各种常用范数例3求下列向量的各种常用范数解:1*4≤9≤9/4*4=9即本例中显然,211¥¥££xcxxc,范数等价的定义:设‖·‖A和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在常数C1、C2>0使得则称和等价。Rn上一切范数都等价。定理1显

11、然并且由于注意:一般有向量的等价关系对任意一种向量范数‖·‖而言，向量序列｛xk｝收敛于向量x*的充分必要条件是定理2定义：设‖‖是一种向量范数称之为由向量范数派生的矩阵算子范数.定义设‖‖是以n阶方阵为变量的实值函数,且满足条件:(1)非负性:‖A‖0,且‖A‖=0当且仅当A=0(2)齐次性:‖A‖=

12、

13、‖A‖,R(3)三角不等式:‖A+B‖‖A‖+‖B‖(4)相容性:‖AB‖