最大值、最小值

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1、§3.8函数的最大值与最小值高三数学选修（Ⅱ）第三章导数与微分MaximumValue&MinimumValueofFunction授课教师：游建龙实际问题如图，有一长80cm宽60cm的矩形不锈钢薄板，用此薄板折成一个长方体无盖容器，要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm且不大于20cm,设长方体的高为xcm，体积为Vcm3．问x为多大时，V最大?并求这个最大值．解：由长方体的高为xcm，可知其底面两边长分别是（80－2x）cm，（60－2x)cm,(10≤x≤20).所以

2、体积V与高x有以下函数关系V=（80－2x）（60－2x）x=4（40－x）（30－x）x.一般地，在闭区间[a,b]上连续的函数在[a,b]上必有最大值与最小值.若改为(a,b)情况如何?[a,b]最值存在定理一般地，在闭区间[a,b]上连续的函数在[a,b]上必有最大值与最小值.若改为不连续呢?连续最值存在定理①求函数在内的极值；求上的连续函数的最大值与最小值的步骤:②将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．例1求函数在区间上的最大值与最小值．求[a,b]上连续函数最值

3、的方法例题讲解例1求函数在区间上的最大值与最小值．解：从表上可知，最大值是13，最小值是4．13454132(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2+0—0+0—当x变化时，的变化情况如下表：令，有，解得单调性（2）将的解对应的函数值f(x)与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（1）在(a,b)内解方程,但不需要判断是否是极值点,更不需要判断是极大值还是极小值；例题讲解例1求函数在区间上的最大值与最小值．解：从上表可知，最大值是13，最小值是4．当x变化时，的变化情况如

4、下表：令，有，解得13454132(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2+0—0+0—例题讲解∴所求最大值是13，最小值是4．例1求函数在区间上的最大值与最小值．解：令，有,解得又（2）将的解对应的函数值f(x)与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（1）在(a,b)内解方程,求上的连续函数的最大值与最小值的简化步骤:课堂练习求下列函数在所给的区间上的最大值与最小值.实际问题例２如图，有一长80cm宽60cm的矩形不锈钢薄板，用此薄板折成一个长方体无盖容器，要分别过矩

5、形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm且不大于20cm,设长方体的高为xcm，体积为Vcm3．问x为多大时，V最大?并求这个最大值．解：由长方体的高为xcm，可知其底面两边长分别是（80－2x）cm，（60－2x)cm,(10≤x≤20).所以体积V与高x有以下函数关系V=（80－2x）（60－2x）x=4（40－x）（30－x）x=4x3－280x2＋4800x.令得比较可知当V有最大值解得所以体积V与高x有以下函数关系解：由长方体的高为xcm，可知其底面两边长分别是（80－2x)c

6、m，（60－2x)cm,(10≤x≤20).V=f(x)=（80－2x）（60－2x）x=4x3－280x2＋4800x.2.求闭区间上连续函数的最值的方法与步骤;1.在闭区间[a,b]上连续的函数在[a,b]上必有最大值与最小值;课堂小结课外作业:教材P139练习1、2、3.3.利用导数求闭区间[a,b]上的连续函数最值的关键是求得方程(x∈[a,b])的根所对应的函数值.谢谢大家！