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1、§3.8函数的最大值与最小值高三数学选修(Ⅱ)第三章导数与微分MaximumValue&MinimumValueofFunction授课教师:游建龙实际问题如图,有一长80cm宽60cm的矩形不锈钢薄板,用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形,按加工要求,长方体的高不小于10cm且不大于20cm,设长方体的高为xcm,体积为Vcm3.问x为多大时,V最大?并求这个最大值.解:由长方体的高为xcm,可知其底面两边长分别是(80-2x)cm,(60-2x)cm,(10≤x≤20).所以
2、体积V与高x有以下函数关系V=(80-2x)(60-2x)x=4(40-x)(30-x)x.一般地,在闭区间[a,b]上连续的函数在[a,b]上必有最大值与最小值.若改为(a,b)情况如何?[a,b]最值存在定理一般地,在闭区间[a,b]上连续的函数在[a,b]上必有最大值与最小值.若改为不连续呢?连续最值存在定理①求函数在内的极值;求上的连续函数的最大值与最小值的步骤:②将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.例1求函数在区间上的最大值与最小值.求[a,b]上连续函数最值
3、的方法例题讲解例1求函数在区间上的最大值与最小值.解:从表上可知,最大值是13,最小值是4.13454132(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2+0—0+0—当x变化时,的变化情况如下表:令,有,解得单调性(2)将的解对应的函数值f(x)与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.(1)在(a,b)内解方程,但不需要判断是否是极值点,更不需要判断是极大值还是极小值;例题讲解例1求函数在区间上的最大值与最小值.解:从上表可知,最大值是13,最小值是4.当x变化时,的变化情况如
4、下表:令,有,解得13454132(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2+0—0+0—例题讲解∴所求最大值是13,最小值是4.例1求函数在区间上的最大值与最小值.解:令,有,解得又(2)将的解对应的函数值f(x)与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.(1)在(a,b)内解方程,求上的连续函数的最大值与最小值的简化步骤:课堂练习求下列函数在所给的区间上的最大值与最小值.实际问题例2如图,有一长80cm宽60cm的矩形不锈钢薄板,用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩
5、形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形,按加工要求,长方体的高不小于10cm且不大于20cm,设长方体的高为xcm,体积为Vcm3.问x为多大时,V最大?并求这个最大值.解:由长方体的高为xcm,可知其底面两边长分别是(80-2x)cm,(60-2x)cm,(10≤x≤20).所以体积V与高x有以下函数关系V=(80-2x)(60-2x)x=4(40-x)(30-x)x=4x3-280x2+4800x.令得比较可知当V有最大值解得所以体积V与高x有以下函数关系解:由长方体的高为xcm,可知其底面两边长分别是(80-2x)c
6、m,(60-2x)cm,(10≤x≤20).V=f(x)=(80-2x)(60-2x)x=4x3-280x2+4800x.2.求闭区间上连续函数的最值的方法与步骤;1.在闭区间[a,b]上连续的函数在[a,b]上必有最大值与最小值;课堂小结课外作业:教材P139练习1、2、3.3.利用导数求闭区间[a,b]上的连续函数最值的关键是求得方程(x∈[a,b])的根所对应的函数值.谢谢大家!