资源描述：
《《离散数学》刘任任版第七章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、习题七1．对图7.7中的两个图，各作出两个顶点割。（a）（b）图7.7解：对图7.7增加加节点标记如下图所示，则(a)的两个顶点割为：V11={a,b}；V12={c,d}(b)的两个顶点割为：V21={u,v}；V12={y}2．求图7.7中两个图的和.解：如上两个图，有k(G1)=λ(G1)=2,k(G2)=1,λ(G2)=23．试作出一个连通图,使之满足：解：做连通图G如下，于是有：4．求证,若是边连通的,则.证明：设G是k—边连通的，由定义有λ(G)≧k.又由定理7.1.2知λ(G)≦，因此有k≦λ(G)≦≦即k≦，从而5．求证,若是阶简单图,且,则.分析：由G是简单图，且，可知
2、G中的δ(G)只能等于p-1或p-2；如δ(G)=p-1,则G是一个完全图，根据书中规定，有k(G)=p-1=δ(G)；如δ(G)=p-2,则从G中任取V（G）的子集V1，其中
3、V1
4、=3，则V(G)-V1的点导出子图是连通的，否则在V1中存在一个顶点v，与其他两个顶点都不连通。则在G中，顶点v最多与G中其他p-3个顶点邻接，所以d(v)≤p-3，与δ(G)=p-2矛盾。这说明了在G中，去掉任意p-3个顶点后G还是连通的，按照点连通度的定义有k(G)>k-3，又根据定义7.1.1，，有k(G)=k-2。证明：因为G是简单图,所以d(v)≦p-1,v∈V(G),已知δ(G)≧p-2（ⅰ）若
5、δ(G)=p-1,则G=Kp（完全图），故k(G)=p-1=δ(G)。（ⅱ）若δ(G)=p-2,则G≠Kp,设u,v不邻接，但对任意的w∈V(G),有uw,vw∈E(G).于是，对任意的V1V(G),
6、V1
7、=p-3,G-V1必连通.因此必有k(G)≧p-2=δ(G),但k(G)≦δ(G)。故k(G)=δ(G)。6．找出一个阶简单图,使,但.解：7．设为正则简单图,求证.分析：G是一个正则简单图，所以δ(G)=3，根据定理7.1.1有，所以只能等于0，1，2，3这四种情况。下面的证明中分别讨论了这四种情况下的关系。证明：(1)若=0，则G不连通,所以λ(G)=K(G).(2)设K(G)=
8、1,且u是G中的一个割点，G-u不连通,由于d(u)=3,从而至少存在一个分支仅一边与u相连,显然这边是G的割边,故λ(G)＝１，所以λ(G)=K(G)(３)设K(G)=2,且{v1,v2}为G的一个顶点割。G1=G-v1连通,则v2是G1的割点且v2在G1中的度小于等于３，类似于(2)知在G1中存在一割边e2(关联v2)使得G1-e2不连通．另一方面由于λ(G)>=K(G)=2故G-e2连通．由于G1-e2=(G-e2)-v1，故v1是G-e2的割点，且v1在G-e2中的度小于等于３，于是类似于(2)知，在G-e2中存在一割边e1，即(G-e2)-e1=G-{e1,e2}不连通，故λ(
9、G)=2.所以λ(G)=K(G).(４)设k(G)=3,于是，有3=k（G）≦≦δ(G)=3,知8．证明：一个图是边连通的当且仅当的任意两个顶点由至少两条边不重的通路所连通.分析：这个题的证明关键是理解边连通的定义。证明：（必要性）因为G是边连通的，所以G没有割边。设u，v是G中任意两个顶点，由G的连通性知u，v之间存在一条路径P1，若还存在从u到v的与P1边不重的路径P2，设C=P1∪P2，则C中含u,v的回路，若从u到v的任意另外路径和P1都有一条（或几条）公共边，也就是存在边e在从u到v的任何路径中，则从G中删除e，G就不连通了，于是e成了G中一割边，矛盾。（充分性）假设G不是一个
10、2-边连通的，则G中有割边，设e=(u,v)为G中一割边，由已知条件可知，u与v处于同一简单回路C中，于是e处在C中，因而从G中删除e后G仍然连通，这与G中无割边矛盾。vV1V2uG9．举例说明：若在连通图中,是一条通路,则不一定包含一条与内部不相交的通路。解如右图G，易知G是2—连通的，若取P为uv1v2v，则G中不存在Q了。10．证明：若中无长度为偶数的回路,则的每个块或者是,或者是长度为奇数的回路.分析：块是G的一个连通的极大不可分子图，按照不可分图的定义，有G的每个块应该是没有割点的。因此，如果能证明G的某个块如果既不是，也不是长度为奇数的回路，再由已知条件G中无长度为偶数的回路
11、，则可得出G的这个块肯定存在割点，则可导出矛盾。本题使用反证法。证明：设K是G的一个块，若k既不是K2也不是奇回路，则k至少有三个顶点，且存在割边e=uv,于是u,v中必有一个是割点，此与k是块相矛盾。11．证明：不是块的连通图至少有两个块,其中每个块恰含一个割点.分析：一个图不是块，按照块的定义，这个图肯定含有割点v，对图分块的时候也应该以割点为标准进行，而且分得的块中必定含这个割点，否则所得到的子图一定不是极大不可分子图，从而不
