2019-2020年高考数学二轮复习专题六解析几何课时作业十六圆锥曲线的综合问题理

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1、2019-2020年高考数学二轮复习专题六解析几何课时作业十六圆锥曲线的综合问题理1．(xx·全国卷Ⅱ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．解析：(1)由题意有＝，＋＝1，解得a2＝8，b2＝4，所以C的方程为＋＝1.(2)设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入＋＝1得(2k2＋1)x2＋

2、4kbx＋2b2－8＝0.xM＝＝，yM＝kxM＋b＝.于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．2．(xx·北京卷)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．解析：(1)由抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，得p＝.所以抛物线C的方程为y2＝x.抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x＝－.(

3、2)由题意，设直线l的方程为y＝kx＋(k≠0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．由得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，x1)．直线ON的方程为y＝x，点B的坐标为.因为y1＋－2x1＝＝＝＝＝0，所以y1＋＝2x1，故A为线段BM的中点．3．(xx·全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，

4、－2)，求直线l与圆M的方程．解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2，由可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，所以OA⊥OB，故坐标原点O在圆M上．(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4，故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，圆M的半径r＝.由于圆M过点P(4，－2)，因此·＝0，故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋

5、y2)＋20＝0.由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4，所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为2＋2＝.4．(xx·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦距为2.(1)求椭圆E的方程；(2)如图，动直线l：y＝k1x－交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，

6、且k1k2＝.M是线段OC延长线上一点，且

7、MC

8、∶

9、AB

10、＝2∶3，⊙M的半径为

11、MC

12、，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T.求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．解析：(1)由题意知e＝＝，2c＝2，所以a＝，b＝1，所以椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得(4k＋2)x2－4k1x－1＝0.由题意知Δ＞0，且x1＋x2＝，x1x2＝－，所以

13、AB

14、＝

15、x1－x2

16、＝.由题意可知圆M的半径r为r＝

17、AB

18、＝.由题设知k1k2＝，所以k2＝，因此直线OC的方程为y＝x.

19、联立方程得x2＝，y2＝，因此

20、OC

21、＝＝.由题意可知sin＝＝，而＝＝，令t＝1＋2k，则t＞1，∈(0,1)，因此＝＝＝≥1，当且仅当＝，即t＝2时等号成立，此时k1＝±，所以sin≤，因此≤，所以∠SOT的最大值为.综上所述：∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为k1＝±.5．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1－y2的值及直线AB的斜率．解析：(1)由已知条

22、件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．因为点P(1,2)在抛物线上，所以22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率