2019-2020年高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 第5讲 利用导数研究不等式恒成立及相关问题 文

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1、2019-2020年高考数学二轮复习专题2函数与导数第5讲利用导数研究不等式恒成立及相关问题文　　　　　　　　　　　　　　　　　　　导数的综合应用训练提示:在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时,常常需要求出其中参数的取值范围,这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用.1.(xx云南省第一次统一检测)已知函数f(x)=lnx-.(1)求证:f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;(2)若f[x(3x-2)]<-,求实数x的取值范围.(1)证明:

2、由已知得f(x)的定义域为(0,+∞).因为f(x)=lnx-,所以f′(x)=-=.因为x>0,所以4x2+3x+1>0,x(1+2x)2>0.所以当x>0时,f′(x)>0.所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.(2)解:因为f(x)=lnx-,所以f(1)=ln1-=-.由f[x(3x-2)]<-得f[x(3x-2)]

3、,h(x),已知f(x)=lnx,g(x)=x2-af(x),h(x)=x-a,且g(x)在x=1处取得极值.(1)求a的值及h(x)的单调区间;(2)求证:当10,得x>1,所以h(x)在(1,+∞)上为增函数;令h′(x)=1-<0,得0

4、)在(0,1)上为减函数.(2)证明:因为10,即2-f(x)>0.要证x<,只需证x[2-f(x)]<2+f(x),即证f(x)>.记k(x)=f(x)-=lnx-,则k′(x)=.所以当10,k(x)在(1,e2)上为增函数.所以k(x)>k(1)=0,所以lnx->0,所以lnx>.所以当1

5、处取得极值,求a的值;(2)在(1)的条件下,求证:f(x)≥-+-4x+;(3)当x∈[e,+∞)时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.(1)解:f′(x)=2x-a-,由题意可得f′(1)=0,解得a=1.经检验,a=1时f(x)在x=1处取得极值,所以a=1.(2)证明:由(1)知,f(x)=x2-x-lnx令g(x)=f(x)-(-+-4x+1)=-+3x-lnx-由g′(x)=x2-3x+3-=-3(x-1)=(x>0),可知g(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,所以g

6、(x)≥g(1)=0,所以f(x)≥-+-4x+成立.(3)解:由x∈[e,+∞)知,x+lnx>0,所以f(x)≥0恒成立等价于a≤在x∈[e,+∞)时恒成立.令h(x)=,x∈[e,+∞),有h′(x)=>0,所以h(x)在[e,+∞)上是增函数,有h(x)≥h(e)=,所以a≤.即a的取值范围为(-∞,].4.(xx山东淄博市一模)设函数f(x)=x2-ax+lnx(a为常数).(1)当a=3时,求函数f(x)的极值;(2)当0

7、等式f(x0)1时,f′(x)>0,f(x)单调递增;所以f(x)极小值=f(1)=-2,f(x)极大值=f()=--ln2.(2)函数的定义域为(0,+∞),f′(x)=2x+-a,因为2x+≥2,(当且仅当x=时,等号成立)因为0

8、=2x+-a>0在(0,+∞)上恒成立,故f(x)在(0,+∞)上是增函数.(3)当a∈(0,)时,由(2)知,f(x)在[,1]上单调递增,所以f(x)max=f(1)=1-a.故问题等价于:当a∈(0,)时,不等式1-a0,所以M(a)在a∈(0,)上单调递增,M(a)