高考数学二轮复习专题一函数与导数不等式第5讲导数与不等式的证明恒成立及能成立问题课件

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1、第5讲　导数与不等式的证明、恒成立及能成立问题高考定位在高考压轴题中，函数与不等式的交汇是考查热点，常以含指数、对数函数为载体考查不等式的证明、比较大小、范围等问题，以及不等式的恒成立与能成立问题.真题感悟考点整合1.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数后转化为函数最值问题：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.(2)转化为含参函数的最值问题：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，

2、利用导数求该函数的极值(最值)，伴有对参数的分类讨论，然后构建不等式求解.2.常见构造辅助函数的四种方法(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))的问题转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x).(2)构造“形似”函数：稍作变形后构造.对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数.(3)适当放缩后再构造：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数.(4)构造双函数：若直接构造函数求导，难以

3、判断符号，导数的零点也不易求得，因此单调性和极值点都不易获得，从而构造f(x)和g(x)，利用其最值求解.3.不等式的恒成立与能成立问题(1)f(x)＞g(x)对一切x∈[a，b]恒成立⇔[a，b]是f(x)＞g(x)的解集的子集⇔[f(x)－g(x)]min＞0(x∈[a，b]).(2)f(x)＞g(x)对x∈[a，b]能成立⇔[a，b]与f(x)＞g(x)的解集的交集不是空集⇔[f(x)－g(x)]max＞0(x∈[a，b]).(3)对∀x1，x2∈[a，b]使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min.(4)对∀x1∈[a，b]，∃x2∈[a，b]使

4、得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min.热点一　导数与不等式[微题型1]利用导数证明不等式[微题型2]不等式恒成立求参数范围问题【例1－2】(1)已知函数f(x)＝ax－1－lnx，a∈R.探究提高(1)利用最值法解决恒成立问题的基本思路是：先找到准确范围，再说明“此范围之外”不适合题意(着眼于“恒”字，寻找反例即可).(2)对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数

5、法.【训练1】(2016·浙江五校联考)已知a>0，b∈R，函数f(x)＝4ax3－2bx－a＋b.(1)证明：当0≤x≤1时，①函数f(x)的最大值为

6、2a－b

7、＋a；②f(x)＋

8、2a－b

9、＋a≥0；(2)若－1≤f(x)≤1对x∈[0，1]恒成立，求a＋b的取值范围.热点二　不等式恒成立与能成立问题[微题型1]恒成立问题【例2－1】(2016·四川卷)设函数f(x)＝ax2－a－lnx，其中a∈R.探究提高(1)恒成立问题一般与不等式有关，解决此类问题需要构造函数利用函数单调性求函数最值，从而说明函数值恒大于或恒小于某一确定的值.(2)在求参数范围时首先要考虑参数

10、能否分离出来.[微题型2]能成立问题(1)当x∈[1，e]时，求f(x)的最小值；(2)当a＜1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2，0]，f(x1)＜g(x2)恒成立，求a的取值范围.探究提高存在性问题和恒成立问题的区别与联系存在性问题和恒成立问题容易混淆，它们既有区别又有联系：若g(x)≤m恒成立，则g(x)max≤m；若g(x)≥m恒成立，则g(x)min≥m；若g(x)≤m有解，则g(x)min≤m；若g(x)≥m有解，则g(x)max≥m.【训练2】(2016·宁波期末)已知函数f(x)＝x3＋3

11、x－a

12、(a∈R).(1)若f(x)在[－1

13、，1]上的最大值和最小值分别记为M(a)，m(a)，求M(a)－m(a)；(2)设b∈R.若[f(x)＋b]2≤4对x∈[－1，1]恒成立，求3a＋b的取值范围.1.不等式恒成立、能成立问题常用解法有：(1)分离参数后转化为最值，不等式恒成立问题在变量与参数易于分离的情况下，采用分离参数转化为函数的最值问题，形如a＞f(x)max或a＜f(x)min.(2)直接转化为函数的最值问题，在参数难于分离的情况下，直接转化为含参函数的最值问题，伴有对参数的分类讨论.(3)数形结合.2.利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形.(2)构造新的函