2019-2020年高考数学二轮复习 专题6 解析几何 第3讲 直线与圆锥曲线的位置关系 文

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1、2019-2020年高考数学二轮复习专题6解析几何第3讲直线与圆锥曲线的位置关系文　　　　　　　　　　　　　　　　　　　直线与圆锥曲线的位置关系训练提示:用直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数,可以研究直线与圆锥曲线的位置关系,方程组消元后要注意所得方程的二次项系数是否含有参数,若含参数,需按二次项系数是否为零进行分类讨论,只有二次项系数不为零时,方程才是一元二次方程,才可以用判别式Δ的符号判断方程解的个数,从而说明直线与圆锥曲线的位置关系.1.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点

2、P(0,1)在C1上.(1)求椭圆C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.解:(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(-1,0),所以c=1,将点P(0,1)代入椭圆方程+=1,得=1,即b2=1,所以a2=b2+c2=2,所以椭圆C1的方程为+y2=1.(2)直线l的斜率显然存在,设直线l的方程为y=kx+m,由消去y并整理得,(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,因为直线l与椭圆C1相切,所以Δ1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0,整理得2k2-m2+1=0,①由消去y并整理

3、得,k2x2+(2km-4)x+m2=0,因为直线l与抛物线C2相切,所以Δ2=(2km-4)2-4k2m2=0,整理得km=1,②综合①②,解得或所以直线l的方程为y=x+或y=-x-.2.若双曲线E:-y2=1(a>0)的离心率等于,直线y=kx-1与双曲线E的右支交于A,B两点.(1)求k的取值范围;(2)若

4、AB

5、=6,点C是双曲线上一点,且=m(+),求k,m的值.解:(1)由得故双曲线E的方程为x2-y2=1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(1-k2)x2+2kx-2=0.(*)因为直线与双曲线右支交于A,B两点,故即

6、所以k的取值范围为(1,).(2)由(*)得x1+x2=,x1x2=,所以

7、AB

8、=·　　=2=6,整理得28k4-55k2+25=0,所以k2=或k2=.又1

9、.3.(xx天津模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的中心为O,它的一个顶点为(0,1),离心率为,过其右焦点的直线交该椭圆于A,B两点.(1)求这个椭圆的方程;(2)若·=0,求△OAB的面积.解:(1)因为=,所以c2=a2,依题意b=1,所以a2-c2=1,所以a2-a2=1,所以a2=2,所以椭圆的方程为+=1.(2)椭圆的右焦点为(1,0),当直线AB与x轴垂直时,A,B的坐标为(1,),(1,-),此时·=≠0,所以直线AB与x轴不垂直.设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x-1),与+=1,联立得(2k2+1)x2-4

10、k2x+2k2-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),所以x1+x2=,x1x2=,M(,),因为·=0,即(x1,y1)·(x2,y2)=0,所以x1x2+y1y2=x1x2+k(x1-1)·k(x2-1)=(k2+1)x1x2-k2(x1+x2)+k2=0,即-+k2=0,所以k2=2,所以k=±,所以

11、AB

12、2=4

13、OM

14、2=4[()2+()2]=,所以

15、AB

16、=.Rt△OAB斜边高为点O到直线AB的距离d==,所以△OAB的面积为d

17、AB

18、=××=.4.(xx昆明模拟)设抛物线C:y2=2px

19、(p>0)的焦点为F,准线为l,M∈C,以M为圆心的圆M与l相切于点Q,Q的纵坐标为p,E(5,0)是圆M与x轴的不同于F的一个交点.(1)求抛物线C与圆M的方程;(2)过F且斜率为的直线n与C交于A,B两点,求△ABQ的面积.解:(1)由抛物线的定义知,圆M经过焦点F(,0),Q(-,p),点M的纵坐标为p,又M∈C,则M(,p),

20、MF

21、=2p.由题意,M是线段EF的垂直平分线上的点,所以=,解得p=2,故抛物线C:y2=4x,圆M:(x-3)2+(y-2)2=16.(2)由题意知直线n的方程为y=(x-1),由解得或设A(4,4),B(

22、,-1),则

23、AB

24、=.点Q(-1,2)到直线n:4x-3y-4=0的距离d=,所以△ABQ的面积S=

25、AB

26、·d=.圆锥曲线的轨迹问题训练提示:求动点的轨迹方程的