2019-2020年高考数学专题复习导练测 第五章 高考专题突破二 高考中的三角函数综合问题 理 新人教A版

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1、2019-2020年高考数学专题复习导练测第五章高考专题突破二高考中的三角函数综合问题理新人教A版1．已知向量＝(2,0)，向量＝(2,2)，向量＝(cosα，sinα)，则向量与向量的夹角的取值范围是(　　)A.B.C.D.答案　D解析　由题意，得：＝＋＝(2＋cosα，2＋sinα)，所以点A的轨迹是圆(x－2)2＋(y－2)2＝2，如图，当A位于使向量与圆相切时，向量与向量的夹角分别达到最大、最小值，故选D.2．若函数f(x)＝(1＋tanx)cosx,0≤x<，则f(x)的最大值为(　　)A．1B．2C.＋1D.＋2答案　B解析　依题意，得f(x)＝c

2、osx＋sinx＝2sin(x＋)，当0≤x<时，≤x＋<，f(x)的最大值是2.3．(xx·安徽)若将函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．答案　解析　∵函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位得到g(x)＝sin[2(x－φ)＋]＝sin(2x＋－2φ)，又∵g(x)是偶函数，∴－2φ＝kπ＋(k∈Z)．∴φ＝－－(k∈Z)．当k＝－1时，φ取得最小正值.4．(xx·课标全国Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)

3、＝(c－b)·sinC，则△ABC面积的最大值为________．答案　解析　∵＝＝＝2R，a＝2，又(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC可化为(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c，∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.∴＝＝＝cosA，∴A＝60°.∵△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos60°＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(“＝”当且仅当b＝c时取得)，∴S△ABC＝·bc·sinA≤×4×＝.5．(xx·大纲全国)若函数f(x)＝cos2x＋asinx在区间是减函数，则a的取值范围是________．答案　

4、(－∞，2]解析　f′(x)＝－2sin2x＋acosx＝－4sinxcosx＋acosx.∵x∈(，)，∴cosx>0.∵f′(x)≤0在(，)恒成立，即－4sinx＋a≤0在(，)恒成立，∴a≤(4sinx)min.又y＝4sinx在(，)的最小值接近2，故a≤2.题型一　三角函数的图象与性质例1　已知函数f(x)＝sin(ωx＋)＋sin(ωx－)－2cos2，x∈R(其中ω>0)．(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为，求函数y＝f(x)的单调增区间．解　(1)f(x)＝sinωx＋cosωx＋

5、sinωx－cosωx－(cosωx＋1)＝2(sinωx－cosωx)－1＝2sin(ωx－)－1.由－1≤sin(ωx－)≤1，得－3≤2sin(ωx－)－1≤1，所以函数f(x)的值域为[－3,1]．(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y＝f(x)的周期为π，所以＝π，即ω＝2.所以f(x)＝2sin(2x－)－1，再由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以函数y＝f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．思维升华　三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k

6、的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sint的图象求解．　(xx·四川)已知函数f(x)＝sin(3x＋)．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f()＝cos(α＋)cos2α，求cosα－sinα的值．解　(1)因为函数y＝sinx的单调递增区间为[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z，由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为[－＋，＋]，k∈Z.(2)由已知，有sin(α＋)＝cos(α＋)(cos2α－sin2α)，所以sinαcos＋cosαsin＝(cosαcos－si

7、nαsin)·(cos2α－sin2α)，即sinα＋cosα＝(cosα－sinα)2(sinα＋cosα)．当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z.此时，cosα－sinα＝－.当sinα＋cosα≠0时，有(cosα－sinα)2＝.由α是第二象限角，知cosα－sinα<0，此时cosα－sinα＝－.综上所述，cosα－sinα＝－或－.题型二　三角函数和解三角形例2　(xx·重庆)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.(1)求C；(2)设cosAcosB＝，＝，求tanα的值．解

8、　(1)因为a2＋b2＋ab＝c2，由