2016高考数学专题复习导练测 第九章 高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题 理 新人教a版

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1、高考专题突破五　高考中的圆锥曲线问题考点自测1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为____________．答案　－＝1解析　由题意得，双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点坐标为(，0)，(－，0)，c＝；且双曲线的离心率为2×＝＝⇒a＝2，b2＝c2－a2＝3，双曲线的方程为－＝1.2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆＋＝1(a>b>0)的离

2、心率为____________．答案　－1解析　因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F为，设椭圆另一焦点为E.当x＝时代入抛物线方程得y＝±p，又因为PQ经过焦点F，所以P且PF⊥OF.所以

3、PE

4、＝＝p，

5、PF

6、＝p，

7、EF

8、＝p.故2a＝p＋p,2c＝p，e＝＝－1.3．若双曲线－＝1的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为(　　)A．1B．2C．3D．6答案　B解析　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，即x±ay＝0，圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为C(2,0)，半径为

9、r＝2，如图，由圆的弦长公式得弦心距

10、CD

11、＝＝，另一方面，圆心C(2,0)到双曲线－＝1的渐近线x－ay＝0的距离为d＝＝，所以＝，解得a2＝1，即a＝1，该双曲线的实轴长为2a＝2.4．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是(　　)A．[3，＋∞)B．(3，＋∞)C．(1,3]D．(1,3)答案　A解析　依题意可知双曲线渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立消去y得x2±x＋2＝0.∵渐近线与抛物线有交点，∴Δ＝－8≥0，求得b2≥8a2，∴c＝≥

12、3a，∴e＝≥3.5．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则·等于(　　)A.B．－C．3D．－3答案　B解析　方法一　(特殊值法)抛物线的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A(，1)，B(，－1)，∴·＝·＝－1＝－.方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2.由抛物线的过焦点的弦的性质知：x1x2＝＝，y1y2＝－p2＝－1.∴·＝－1＝－.题型一　圆锥曲线中的范围、最值问题例1　如图所示，在直角坐标系xOy中，点P(1，)到抛物线C：y2＝2px

13、(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)在直线OM上．(1)求曲线C的方程及t的值；(2)记d＝，求d的最大值．思维点拨　(2)用点差法求kAB，用m表示出

14、AB

15、，利用基本不等式求最值．解　(1)y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，∴1－(－)＝，p＝，∴抛物线C的方程为y2＝x.又点M(t,1)在曲线C上，∴t＝1.(2)由(1)知，点M(1,1)，从而n＝m，即点Q(m，m)，依题意，直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB的斜率为k(k≠0

16、)．且A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，故k·2m＝1，∴直线AB的方程为y－m＝(x－m)，即x－2my＋2m2－m＝0.由消去x，整理得y2－2my＋2m2－m＝0，∴Δ＝4m－4m2>0，y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－m.从而

17、AB

18、＝·

19、y1－y2

20、＝·＝2.∴d＝＝2≤m＋(1－m)＝1，当且仅当m＝1－m，即m＝时，上式等号成立，又m＝满足Δ＝4m－4m2>0.∴d的最大值为1.思维升华　圆锥曲线中最值问题的解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用

21、圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．　已知点A(－1,0)，B(1,0)，动点M的轨迹曲线C满足∠AMB＝2θ，

22、

23、·

24、

25、cos2θ＝3，过点B的直线交曲线C于P，Q两点．(1)求

26、

27、＋

28、

29、的值，并写出曲线C的方程；(2)求△APQ面积的最大值．解　(1)设M(x，y)，在△MAB中，

30、AB

31、＝2，∠AMB＝2θ，根据余弦定理得

32、

33、2＋

34、

35、2－2

36、

37、·

38、

39、cos2θ＝4.即(

40、

41、

42、＋

43、

44、)2－2

45、

46、·

47、

48、(1＋cos2θ)＝4.(

49、

50、＋

51、

52、)2－4

53、

54、·

55、

56、cos2θ＝4.而

57、

58、·

59、

60、cos2θ＝3，所以(

61、

62、＋

63、

64、)2－4×3＝4.所以

65、

66、＋

67、

68、＝4.又

69、

70、＋

71、

72、＝4>2＝

73、AB

74、，因此点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(点M在x轴上也符合题意)，a＝2，c＝1.所以曲线C的方程为＋＝1.(2)设直线PQ的方程为x＝my＋1.由消去x并整理得(3