江南中学数学选拔赛试卷

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1、江南中学数学选拔赛试卷2012.2班级_______姓名_________一、选择题(有且只有一个正确答案，每小题5分，满分30分)1、一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形所有对角线的条数共有（）A、42条B、54条C、66条D、78条2、如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE=15°则∠BOE=（）A、30°B、45°C、60°D、75°3、从分数组中删去两个分数，使剩下的数之和为1，则删去两个数是（　）（A）(B)(C)(D)4、的末尾三位数字是（）（A）125(B)375(C)625(D)87

2、55、若实数满足方程组：,　　则有（）（A）x+2y+3z=0(B)7x+5y+2z=0(C)9x+6y+3z=0(D)10x+7y+z=06、将正三角形每条边四等份，然后过这些分点作平行于其它两边的直线，则以图中线段为边的菱形个数为（）（A）15(B)18(C)21(D)24二、填空题(每小题6分，满分30分)7.不论实数k为何值，直线(2k+1)x+(1-k)y+7-k=0恒经过的定点坐标是。8．化简：=9．某人想买A、B、C三件物品，若买l3件A物品，5件B物品，9件C物品，则需9．25元；若买2件A物品，4件B物品，3件C物品，则需3．2元。试

3、问若买A物品，B物品，C物品各2件，则需元。10．已知实数x，y满足x2+xy+y2=1，则x2-xy+y2的最大值是，最小值是。11.一本书共有61页，顺次编号为1，2，…，61，某人在将这些数相加时，有两个两位数页码都错把个位数与十位数弄反了（即：形如的两位数被当成了两位数），结果得到的总和是2008，那么，书上这两个两位数页码之和的最大值是.三、解答题(第12题8分，第13、l6题10分，第14、l5题l4分，满分40分)12.xyO已知，抛物线（）经过、两点，图中的曲线是它的一部分．根据图中提供的信息，（Ⅰ）确定，，的符号；（Ⅱ）当变化时，求的

4、取值范围．13.设直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为．若均为整数，且，求满足条件的直角三角形的个数．ABCD14.如图，在△中，，点在边上，，且．将△以直线为轴做轴对称变换，得到△，连接，（Ⅰ）求证；（Ⅱ）求的大小．15.ACD图（a）（Ⅰ）如图（），在正方形内，已知两个动圆与互相外切，且与边AB、AD相切，与边BC、CD相切．若正方形的边长为1，与的半径分别为，．①求与的关系式；BCAD图（b）②求与面积之和的最小值．B（Ⅱ）如图（b），若将（Ⅰ）中的正方形改为一个宽为1，长为的矩形，其他条件不变，则与面积的和是否存在最小值，若不存在，请说明理

5、由；若存在，请求出这个最小值．16.有7个人进行某项目的循环比赛，每两个人恰好比赛一场，且没有平局．如果其中有3个人X、Y、Z，比赛结果为X胜Y，Y胜Z，Z胜X，那么我们称X、Y、Z构成一个“圈”．求这7个人的比赛中，“圈”的数目的最大值．参考答案：－、选择题（每小题5分，共30分）1.解：选B2.解：选D3.解：由，而故删去后，可使剩下的数之和为1.故选C4.解：=5×=5×，因125被8除余l，所以被8除余l，故知被8除余5，而在125、375、625、875四数中，只有125被8除余5，故选A5.解：由（1）、（3）得，,故x≠0，代人（2）解得

6、，所以，54.检验知此组解满足原方程组.于是10X＋7y＋Z＝0．故选D6.解：图中只有边长为1或2的两种菱形，每个菱形恰有一条与其边长相等的对角线，原正三角形内部每条长为1的线段，恰是一个边长为1的菱形的对角线；这种线段有18条，对应着18个边长为1的菱形；原正三角形的每条中位线恰是一个边长为2的菱形的对角线，三条中位线对应着3个边长为2的菱形；共得21个菱形.故选C二、填空题(每小题6分，满分30分)7.解：（-2，-5）8.解：3-19.解：2.110.解：设x2-xy+y2=Ax2-xy+y2=A与x2+xy+y2=1相加可以得到：2（x2+y

7、2）=1+A（1）x2-xy+y2=A与x2+xy+y2=1相减得到：2xy=1-A（2）（1）+（2）×2得：2（x2+2xy+y2）=2（x+y）2=3-A≥0∴A≤3，（1）-（2）×2得：2（x-y）2=3A-1≥0，∴A≥．综上：≤A≤311.解：l＋2＋…＋61＝1891，2008—1891＝117，由于形如的页码被当成后，加得的和数将相差9，因为只能在1，2，…，9中取值，≤8，得9≤72，由于117＝72＋45＝63＋54，设弄错的两位数是和，若9=72，9=45，只有＝19，而可以取l6，27，38，49；这时+的最大值是68；若9=

8、63，9=54，则可以取18，29，而可以取17，28，39，+的最大值也是68．三、解答题(