Maple在微积分上的应用

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1、Maple在微積分上的應用教授：蔡桂宏博士學生：施凱晏學號：9535607195503統資軟體課程講義Letusstart!!!!報告大綱：函數與極限導數與導函數導數的應用積分積分應用與技巧第一章函數與極限1.1函數1.2函數的運算1.3極限的基本概念1.4Maple的極限計算法1.5函數的連續性1.1函數(1)偶函數與奇函數：如果，則稱f為偶函數(evenfunction)。若，則稱f為奇函數(oddfunction)。偶函數的圖形對稱於y軸，而奇函數的圖形對稱於原點。EX:(2)片段函數(piecewisefunction)：Maple以piecewise指令來定義片段函

2、數，其語法如下:piecewise(cond1,f1,cond,f2,…,condn,fn,otherwise)若條件式cond1成立，則執行f1，若cond2成立，則執行f2，以此類推。若所有條件都不成立，就執行otherwise，若otherwise沒有指定，則其預設值為0。EX:1.2函數的計算(1)函數的合成：以函數g合成f，而產生的函數f(g(x))稱為合成函數(compositefunction)，記為f。g。因此(f。g)(x)=f(g(x))。而Maple以小老鼠符號@來代表。EX:合成函數也可以由片段函數組成。EX:,而，試以Maple求出(f。g)(x)1

3、.3極限的基本概念極限(limit)常用來描述當x趨近某個數值時，函數y=f(x)的變化情形。(1)極限的直觀介紹:考慮，在x=0並沒有定義(因為分母為0)，但因為sinx也為0，所以式子變為0/0的數學式，探討其值為何。EX:(2)夾擠定理(squeezetheorem):定理:設在一個包含a點的開區間中的所有的x值，恆有g(x)f(x)h(x)，若則EX:以函數圖形來說明夾擠定理意義，1.4Maple的極限計算法(1)Limit&limit:計算函數的極限值。趨近方向dir為一選項，其值可以是left或right。若沒有指定，則以雙方向趨近，而趨近的點可以是一常數、變數、

4、或者是infinity、-infinity。EX:EX:limit指令也可以用來求解片段函數的極限值。1.5函數的連續性(1)連續性:定義函數的連續:如果(1)f(a)有定義，(2)存在，而且(3)，則稱函數f(x)在x=a為連續。EX:利用Maple來判別函數是否連續。(2)Maple有關測試函數連續性的指令:EX1:EX2:(3)介值定理(theintermediatevaluetheorem):定理:如果函數f於閉區間[a,b]連續，且，則於閉區間[a,b]至少存在一數c使得f(c)=N。由介值定理可以推論得，若函數f於閉區間[a,b]連續且f(a)*f(b)0(亦即f

5、(a)與f(b)的乘積為負)，則於閉區間[a,b]內至少存在一解c使得f(c)=0。EX:第二章導數與導函數2.1導函數與導數2.2導函數的求法2.3Maple的微分指令2.4鏈鎖律2.5高階導函數2.6隱微分法2.1導函數與導數(1)導函數:f(x)的導函數之物理意義，即是f(x)之切線的斜率函數。定義導函數:函數f(x)的導函數定義為，而的定義域為使得該極限存在的所有x所組成。EX:(2)導數:定義導數:函數f(x)在x=a的導數記為，亦即。若函數f(x)在x=a的導數存在，亦即則稱f在x=a可微分(differentiable)。●一般而言，函數f(x)於x=a不可微分

6、通常發生於下面三種情況:函數的圖形於x=a為一尖角或折點。EX:函數於x=a不連續(斷點)。函數於x=a的切線為一垂直線(斜率為)。EX:EX:可微分例子。2.2導函數的求法(1)乘幕律(powerrule)若n為正整數，則。EX:(2)和與差的公式:若f與g為可微分函數，則EX:試求的導函數。(3)積的公式(productrule):若f與g皆為可微分函數，則(4)商的公式(quotientrule):若f與g皆為可微分函數，且g(x)≠0，則EX:設，試求。到目前為止，皆以導函數的定義式來計算函數的導函數。事實上，Maple的內建指令diff提供了更方便的方法來計算微分。

7、2.3Maple的微分指令Maple提供了微分指令diff與微分運算子D來處裡函數的微分。diff是用來計算函數的微分，而D則是針對函數運算子所設計，用來求出運算子的微分式。(1)微分指令diff:EX1:diff指令的用法EX2:Diff指令的用法p.s:數學上慣用以來表示單變數函數f對x微分。若f為多變數函數，則習慣上以來表示f對x的偏微分(partialdifferentiation)。Maple的輸出是以較廣義的偏微分符號來取代慣用的。(2)微分運算子:Maple的內建函數如sin,cos,ab