2019-2020年高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的应用例题与探究 新人教B版必修4

《2019-2020年高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的应用例题与探究 新人教B版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2019-2020年高中数学第二章平面向量2.4向量的应用例题与探究新人教B版必修4典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.思路分析:考查应用向量解决几何问题.把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.解：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：

2、

3、2+

4、

5、2=2

6、

7、2+2

8、

9、2.证法一：如图2-4-1所示，设=a,=b，图2-4-1∴=a+b，=b-a.∴

10、

11、2=(a+b)2=a2+2a·b+b2，

12、

13、2=(b-a)2=a2-2a·b+b2.∴

14、

15、2+

16、

17、2=2a2+2b2.又∵2

18、

19、

20、2+2

21、

22、2=2a2+2b2，∴

23、

24、2+

25、

26、2=2

27、

28、2+2

29、

30、2，即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.证法二：如图2-4-2所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.图2-4-2设A(0，0)、D(a，b)、B(c，0)，∴==(c，0)+(a，b)=(a+c，b)，==(a，b)-(c，0)=(a-c，b).∴

31、

32、2=(c+a)2+b2，

33、

34、2=(a-c)2+b2.∴

35、

36、2+

37、

38、2=2a2+2c2+2b2.又∵2

39、

40、2+2

41、

42、2=2

43、

44、2+2

45、

46、2=2a2+2c2+2b2，∴

47、

48、2+

49、

50、2=2

51、

52、2+2

53、

54、2，即平行四边形两对角线的平方

55、和等于四条边的平方和.绿色通道:(1)向量法解决几何问题的步骤：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算(有基向量法和坐标法两种)，研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系.这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”，又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜(建算译).(2)平面几何经常涉及距离、夹角的问题.而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模及向量的夹角.因此,我们可以用向量方法解答几何问题.在具体问题中,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素,然后通过向量的运算,特别是数量积

56、来研究点、线段等几何元素之间的关系,最后将结论转化为几何问题.变式训练如图2-4-3所示，AC、BD是梯形ABCD的对角线，BC＞AD，E、F分别为BD、AC的中点.试用向量证明EF∥BC.图2-4-3思路分析:证明EF∥BC，转化为证明∥，选择向量基底或建立坐标系均可解决.证法一：(基向量法)设=a，=b，则有=b-a.∵∥，∴存在实数λ＞1使=λ=λb.∵E为BD的中点，∴==(b-a).∵F为AC的中点，∴+=+()=()=()=(λb-a).∴=(λb-a)-(b-a)=(λ-)b.∴=［(λ-)·］.∴∥.∴EF∥BC.证法二：(坐标法)如图2-4-4所示，以

57、BC为x轴，以B为原点建立平面直角坐标系，则B(0，0).图2-4-4设A(a，b)，D(c，b)，C(d，0)，∴E(，)，F(，).∴=(，)-(，)=(，0)，=(d，0).∵×0-d×0=0，∴∥.∴EF∥BC.例2如图2-4-5，一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，求船的实际航行速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).图2-4-5思路分析:考查向量在物理中的应用.船的实际航行速度是船的速度与水流速度的合速度，用平行四边形法则合成即可.解:设=a表示船垂直于对岸行驶的速度，=b表示水流的速度，以AD、AB为邻边

58、作平行四边形ABCD，则就是船的实际航行速度,即=a+b，∵

59、a

60、=2，

61、b

62、=2,a·b=0，∴

63、

64、2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=16，即

65、

66、=4.∵·=(a+b)·b=a·b+b2=4，∴cos〈,〉===.又∵0°≤〈,〉≤180°，∴〈,〉=60°，即船的实际航行速度的大小为4km/h，方向与水流速度间的夹角为60°.绿色通道:用向量法解决物理问题的步骤(类似于用向量方法解决平面几何问题的步骤)：(1)把物理问题中的量用向量来表示；(2)将物理问题转化为向量问题，通过向量运算解决数学问题；(3)把结果还原为物理问题.变式训练如图2-4-6所示，用两根绳

67、子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW=150°，∠BCW=120°,求A和B处所受力的大小.(忽略绳子的质量)图2-4-6思路分析:由于力和重量都是向量，求A和B处所受力的大小转化为求向量的模

68、

69、和

70、

71、.A和B处所受力的合力是10N，即物体W的重量，用平行四边形法则解决.解:由题意得四边形CEWF是矩形，则有,⊥，

72、

73、=10，∠FCW=60°.∴·=0.∴

74、

75、2=()2=

76、

77、2+2·+

78、

79、2.∴

80、

81、2+

82、

83、2=100.又∵·=0，〈，〉=60°，∴·=·(+)=+·=.∴cos〈，〉===.∴

84、

85、=

86、

87、=5，

88、

89、=5，即A和B