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1、2019-2020年高三数学二轮复习高考小题专攻练5立体几何理新人教版一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是 ( )A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥nB.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥βC.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥βD.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n【解析】选B.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m与n相交、平行或异面,故A错误;因为m⊥α,m∥n,所以n⊥α,又因为n
2、∥β,所以α⊥β,故B正确;若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β或α与β相交,故C错误;若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n或m,n异面,故D错误.2.一个几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图和侧(左)视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形.若该几何体的体积为V,并且可以用n个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体,则V,n的值是 ( )A.V=32,n=2B.V=,n=3C.V=,n=6D.V=16,n=4【解析】选B.由三视图可知,几何体为底面是正方形的四棱锥,所以V=×4×4×4=,边长为4的正方体V=64,所
3、以n=3.【加固训练】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 ( )A.(2+)π B.(4+)π C.4π D.6π【解析】选A.由三视图可知,该几何体由一个半球和一个圆锥构成,其表面积为S=×(4×π×12+×2π)=(2+)π.3.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,有下面四个命题:(1)α∥β⇒l⊥m.(2)α⊥β⇒l∥m.(3)l∥m⇒α⊥β.(4)l⊥m⇒α∥β.其中正确的是 ( )A.(1)与(2)B.(1)与(3)C.(2)与(4)D.(3)与(4)【解析】选B.因为直线l⊥平面α,α∥β,
4、所以l⊥平面β,又因为直线m⊂平面β,所以l⊥m,故(1)正确;因为直线l⊥平面α,α⊥β,所以l∥平面β,或l⊂平面β,又因为直线m⊂平面β,所以l与m可能平行也可能相交,还可能异面,故(2)错误;因为直线l⊥平面α,l∥m,所以m⊥α,因为直线m⊂平面β,所以α⊥β,故(3)正确;因为直线l⊥平面α,l⊥m,所以m∥α或m⊂α,又因为直线m⊂平面β,则α与β可能平行也可能相交,故(4)错误.4.一个几何体的三视图如图,则其表面积为 ( )A.20B.18C.14+2D.14+2【解析】选A.由三视图得其直观图如下
5、,由正方体截去四个角得到,故其表面积S=2×2+×2×2+4××2×2+4×××=20.【加固训练】多面体MN-ABCD的底面ABCD为矩形,多面体及其正(主)视图和侧(左)视图如图所示,其中正(主)视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,则AM的长为 ( )A. B. C. D.2【解析】选C.如图所示,E,F分别为AD,BC的中点,则四边形MNFE为等腰梯形.过M作MO⊥EF于O.由正(主)视图为等腰梯形,可知MN=2,AB=4,所以EO=1.由侧(左)视图为等腰三角形,可知AD=2,MO=2,所以ME=
6、=.在△AME中,AE=1,所以AM==.5.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,若M为AB的中点,则点C到平面A1DM的距离为 ( )A.aB.aC.aD.a【解析】选A.如图所示.在△A1DM中,A1M=DM=a.取A1D的中点E,连接ME,则ME⊥A1D.所以ME===a.所以=×a×a=a2.根据等体积法,设点C到平面A1DM的距离为d,则=.即·d=S△MDC·A1A,所以d===a.6.已知一个平放的棱长均为4的三棱锥内有一小球O(重量忽略不计),现从该三棱锥顶端向内注水,小球慢慢上浮,若注入
7、的水的体积是该三棱锥体积的时,小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切),则球的表面积等于 ( )A.πB.πC.πD.π【解析】选C.由题意,没有水的部分的体积是正四面体体积的,因为正四面体的各棱长均为4,所以正四面体体积为××42×=.所以没有水的部分的体积是,设其棱长为a,则×a2×a=,所以a=2.设小球的半径为r,则4×××22r=,所以r=,所以球的表面积S=4π·=π.7.四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上,AB=2,BC=CD=1,∠BCD=60°,AB⊥平面BCD,则球O的表面积为 ( )A
8、.8πB.πC.πD.π【解析】选D.如图,因为BC=CD=1,∠BCD=60°,所以底面△BCD为等边三角形,取CD中点为E,连接BE,所以△BCD的外心G在BE上,取BC中点F,连接GF,则BF=BC=,又在Rt△BFG中,得BG==,过G作AB的平行线与AB的中垂线HO交于O,则O为四面体ABCD的外接球的球心,即R=OB,
