13-1波函数的统计解释和薛定谔方程

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1、量子力学第十三章—第十八章量子力学是反映微观粒子（分子、原子、原子核、基本粒子等）运动规律的理论。微观粒子不同于宏观物体的运动规律，本质原因是微观粒子的特殊性质—波-粒二象性。§13-1波函数的统计解释和薛定谔方程第十三章微观粒子的运动规律光的波动性微观粒子的粒子性微观粒子的波动性光的波-粒二象性微观粒子的波-粒二象性运用数学工具描述具有波-粒二象性的微观粒子的运动量子力学麦克斯韦方程组光的粒子性新实验现象的研究公认德布罗意波德布罗意——粒子的波粒二象性如同光子和光波的关系一样，具有一定能量和动量的粒子，其运动可以用一定频率的波长的波来描述。L.deBr

2、oglie(1892-1987)实物粒子既然有波动性，为什么我们一直把它当做经典粒子却没有出过错？思考由于微观粒子具有波粒二象性，微观粒子所遵循的运动规律就不同于宏观物体的运动规律，因此需要建立一套新的力学体系——量子力学。首先：寻找一个“量”——描述微观粒子的运动状态经典粒子坐标+动量经典波微观粒子（波+粒子)描写运动状态的量波长或频率?（1）波函数（2）波函数的解释（3）波函数的性质一、波函数通常是复函数（1）波函数为了表示微观粒子（以后简称粒子）的波粒二象性，用一个函数表示描写粒子的波，称为“波函数”。为什么“波函数”可描述粒子的波粒二象性？以电子

3、的衍射实验为例，解释波函数（2）波函数的解释——Born的统计解释t时刻电子出现在该点附近的几率波函数振幅的平方，即为波函数模的平方Born的波函数统计解释即，粒子波函数的模的平方与粒子在该点出现的几率成正比。在电子衍射实验中：t时刻照相底片上附近衍射花样强度(黑白度)t时刻该点附近感光点的数目t时刻该点附近出现电子的数目也就是说，电子发射后落到感光屏何处是不能确定的，只能知道其落在某处的几率!确切地说，表示t时刻在r点处，小体积元ΔxΔyΔz中找到粒子的几率。Born的波函数统计解释的意义是表示t时刻粒子出现在r处单位体积的几率大小,又可表示为几率密度

4、。（3）波函数的性质在t时刻，r点，dV=d3r＝dxdydz体积内，找到由波函数Ψ(r,t)描写的粒子的几率是：在t时刻，一个体积V中找到粒子的几率为(a)几率若体积V为全空间，则在全空间找到粒子的几率为1称为归一化条件。是波函数必须满足的。(b)归一化满足归一化条件波函数的归一化一般地，归一化过程为：归一化常数(c)波函数是单值、有限、连续的（1）粒子在某一时刻，空间某处出现的几率是唯一确定的，故波函数必须是单值的；（3）粒子在空间各处出现的几率是连续的，故波函数也应该是连续的（2）有限的；由于粒子在全空间出现的几率等于1，所以粒子在空间各点出现的几

5、率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的2倍），则相应的波动能量将为原来的4倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。注意波函数本身是不可观测量,其作用在于用它可以对微观粒子的各种力学量(坐标、动量、角动量等)的观测结果作出预测。1.三个前提：二、波函数的叠加原理（1）粒子所处的运动状态用粒子的波函数描述；（2）粒子所处的运动状态不是唯一确定的，而是以不同的几率处于不同状态，即不同的波函数态；（3）为了解释粒子的干涉、衍射

6、等波动现象，要求波函数也要服从波的叠加原理。2.波函数的叠加原理——态叠加原理当粒子处于态ψ1和态ψ2的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态ψ1，又处于态ψ2；或称为部分的处于态ψ1，部分的处于态ψ2。三、薛定谔方程经典力学描述物体所处状态坐标和动量运动方程量子力学描述物体所处状态波函数薛定谔方程运动方程牛顿运动方程薛定谔方程不是严格推导得到的，而是从平面波函数出发建立起来的，其正确性需要一些守恒率即实验结果验证。薛定谔方程说明：（1）U是粒子所在力场的势能，可以是坐标和时间的函数，即，也可以仅为坐标的函数，即，在本章我们仅考虑后一种情况，即为保守场中的势能。

7、(3)由N个粒子组成的多粒子体系,薛定谔方程为:（4）量子力学基本假定:量子力学基本假定I：波函数完全描述粒子的状态。量子力学基本假定II：波函数随时间的演化遵从薛定谔方程。下面问题归结为求解薛定谔方程(2)称为哈密顿函数，或哈密顿算符；与时间无关，可以用分离变量法：代入（1）式，并左右两边同除以，得：四、解薛定谔方程的分离变量法上式左右两边各为坐标r和时间t的函数，而r与t是相互独立的量，所以只有当两边都等于同一常量时，（2）式才成立。用E表示这个常量，则同时有：定态薛定谔方程定态波函数(1)问题就归结为求定态薛定谔方程的解，代入即得含时薛定谔方程的解

8、.注意(2)定态薛定谔方程则有:这种形式的方程被称为:本征方程能量算符的本征值能