自动控制原理课件(精)4

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1、第四章根轨迹法4.1根轨迹的基本概念4.2绘制根轨迹的规则4.3广义根轨迹4.4线性系统的根轨迹分析法14.1根轨迹的概念4.1.1根轨迹图根轨迹图是闭环系统特征方程的根（即闭环极点）随开环系统某一参数由零变化到无穷大时在S平面上的变化轨迹。24.1.2开环零、极点与闭环零、极点之间的关系3系统的开环传递函数为为系统的开环增益，为开环系统的根轨迹增益；m=f+l为开环系统的零点数，为开环系统的极点数。(4-1)44.1.3根轨迹增益与开环系统增益K的关系由第三章，系统的开环增益（或开环放大倍数）为（4-2）式中是开环

2、传递函数中含积分环节的个数，由它来确定该系统是零型系统（）,Ⅰ型系统（）或Ⅱ型系统（）等。将（4-1）代入（4-2）可得54.2绘制根轨迹的规则4.2.1绘制根轨迹的依据系统的特征方程为当系统有m个开环零点和n个开环极点时，特征方程可写成称为根轨迹方程6根轨迹方程是一个向量方程，用模和相角的形式表示由此可得到满足系统特征方程的幅值条件和相值条件为幅值条件：相角条件：7设系统的开环传递函数为满足幅值条件的表达式为或满足相角条件的表达式为84.2.2绘制根轨迹的基本规则通常，我们把以开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹叫

3、做普通根轨迹（或一般根轨迹）。绘制普通根轨迹的基本规则主要有7条：根轨迹的起点与终点；根轨迹的分支数；实轴上的根轨迹；根轨迹的渐近线；根轨迹在实轴上的分离点；根轨迹的起始角和终止角；根轨迹与虚轴的交点。9规则1根轨迹的起点和终点幅值条件可写成当，必须有此时，系统的闭环极点与开环极点相同(重合)，我们把开环极点称为根轨迹的起点，它对应于开环根轨迹增益。当时，必须有，此时，系统的闭环极点与开环零点相同(重合)，我们把开环零点称为根轨迹的终点，它对应于开环根轨迹增益。10分三种情况讨沦。1．当m=n时，即开环零点数与极点数

4、相同时，根轨迹的起点与终点均有确定的值。2．当mn时，即开环零点数大于开环极点数时，除有n条根轨迹起始于开环极点(称为有限极点)外，还有m-n条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。11结论：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点（)；如果开环极点数n大于开环零点数m，则有n-m条根轨迹终止于s平面的无穷远处(无限零点)，如果开环零点数m大于开环极点数n，则有m-

5、n条根轨迹起始于s平面的无穷远处(无限极点)。12规则2根轨迹的分支数、连续性和对称性根轨迹是描述闭环系统特征方程的根在S平面上的分布，那么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。当由零到无穷大连续变化时，描述系统特征方程根的复变量s在平面上的变化也是连续的，因此，根轨迹是n条连续的曲线。由于实际的物理系统的参数都是实数，若它的特征方程有复数根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称于实轴的。结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。规则3实轴上的根轨迹若实轴上某线段右侧

6、的开环零、极点的个数之和为奇数则该线段是实轴上的根轨迹。13规则4渐近线当开环极点数n大于开环零点数m时，系统有n-m条根轨迹终止于S平面的无穷远处，这n-m条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线，因此，浙近线也有n-m条，且它们交于实轴上的一点。渐近线与实轴的交点位置和与实轴正方向的交角分别为14系统的特征方程可写成上式称为分离点方程。分离点方程的另一种形式为式中，为开环零点的数值，为开环极点的数值。规则5根轨迹的分离点15规则6起始角与终止角当开环传递函数中有复数极点或零点时，根轨迹是沿着什么方向离开开环复数极

7、点或进入开环复数零点的呢？这就是所谓的起始角和终止角问题,先给出定义如下：⑴起始角根轨迹离开开环复数极点处在切线方向与实轴正方向的夹角。参看图4-8（a）中的和。⑵终止角根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。参看图4-8（b）中的和。16图4-1(a)根轨迹的起始角和终止角17图4-1(b)根轨迹的起始角和终止角18规则7根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根（实部为零）。这时，用代入特征方程可得即由此可得虚部方程和实部方程为解虚部方程可得角频率，即根轨迹与虚轴的交点的坐标值

8、；用代入实部方程，可求出系统开环根轨迹增益的临界值。的物理含义是使系统由稳定（或不稳定）变为不稳定（或稳定）的系统开环根轨迹增益的临界值。它对如何选择合适的系统参数、使系统处于稳定的工作状态有重要意义。194.3广义根轨迹前面介绍的普通根轨迹或一般根轨迹的绘制规则是以开环根轨迹增益为可变参数的，大多数系统都属于这种情况。但有时候，为了分析系统方