第四章有限域1

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1、第四章有限域例（有限域有多种定义方式）F32:=GF(2,5);F32eqGF(32);F32eqGaloisField(32);F32eqFiniteField(32);F32eqGaloisField(2,5);F32eqFiniteField(2,5);扩域和子域G:=GF(11,3);H:=ext

2、4>;I:=sub

3、6>;I;PrimeField(G);PrimeField(H);GroundField(G);GroundField(H);特征和次数Characteristic(G);Degree(I);PrimeField(G);PrimeFiel

4、d(H);GroundField(G);GroundField(H);指定有限域的本原元G:=GF(11,3);G.1;g^2-g+10;改变域中元素的表示方式AssertAttribute(G,“PowerPrinting”,false);g^29;g^1158;本原元及本原多项式H:=ext

5、4>;IsPrimitive(h);IsPrimitive(h+1);Magma提供的有限域的生成元并不一定是本原元IsPrimitive(Generator(GF(2,128)));IsPrimitive(Generator(GF(2,100)));Prim

6、itiveElement(GF(2,100));MinimalPolynomial(GF(2,100).1);GF(2,100).1eqGenerator(GF(2,100));通过不可约多项式生成域扩张F9:=GF(9);Set(F9);iPF9:=PolynomialRing(F9);f:=x^4+g^6*x^2+g^5;IsIrreducible(f);F9e4:=ext

7、f>;F9e4;Evaluate(f,alpha);Roots(f);Roots(PolynomialRing(F9e4)!f);也可以不通过先生成多项式环然后

8、再域扩张F9e4:=ExtensionField

9、x^4+g^6*x^2+g^5>;或者F9e4e3:=ext

10、3>;F9e4e3;defF9e4e3:=DefiningPolynomial(F9e4e3);defF9e4e3;defF9e4e3eqIrreduciblePolynomial(F9e4,3);极小多项式和分裂域p:=MinimalPolynomial(alpha^3+alpha,F9)*MinimalPolynomial(g*beta^2,F9);Spl:=SplittingField(p);Spl;

11、Roots(p);Roots(PolynomialRing(F9e4e3)!p);单位根扩张F9:=GF(9);r:=RootOfUnity(23,F9);L:=Parent(r);L;Order(r);有限域的子域F81A:=sub

12、alpha^82>;F81B:=sub

13、4>;DefiningPolynomial(F81A);DefiningPolynomial(F81B);F81AeqF81B;F81A!gammaB;F81B!gammA;为解决由ext构造的相同阶的有限域的相容性问题，我们

14、介绍有限域的嵌入例Embed(F81A,F81B);F81AeqF81B;F9e4e11:=ext

15、11>;F81AsubsetF9e4e11;F9e4e11!gammaA;Embed(F81A,F9e4e11);F81AsubsetF9e4e11;F9e4e11!gammaA;Degree(F9e4e11);Degree(F9e4e11,F81A);如果直接构造有限域，则没有上述问题。F3:=GF(7,3);F4:=GF(7,3);F3eqF4;F3.1eqF4.1;关于有限域中元素的极小多项式例e:=beta^3+2*g*beta+alpha;Minim

16、alPolynomial(e);MinimalPolynomial(e,F9);MinimalPolynomial(e,GF(3));MinimalPolynomial(e,F9e4e3);有限域中元素的运算pr:=PrimitiveElement(F9e4);pr;Log(alpha);Log(g);Log(F9e4!g);pr11:=pr^11;IsPrimitive(pr11);Log(pr11,F9e4!g);有限域中元素有两种表示方法，两者之间可以相互转化。Eltseq(pr);Eltseq(pr,GF(3));Seqelt([2*alph