第三章 第3讲 一次函数、反比例函数及二次函数

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1、考纲要求考纲研读1.会运用函数图象理解和研究函数的性质．2．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.一次函数、反比例函数及二次函数是最简单、最基础的函数，尤其二次函数是代数的基础，函数与方程、三角函数、导数、数列、不等式等最终都转化成二次函数或二次不等式解决，因此在备考时要予以重视.第3讲一次函数、反比例函数及二次函数1．一次函数y＝kx＋b，当k>0时，在实数集R上是增函数．当k<0时，在实数集R上是减函数．kx时，在(－∞，0)，(0，＋∞)都是减函数，k<0时，(－∞，0)，(0，＋∞)都是增函数．2．反

2、比例函数y＝—定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当k>03．二次函数的解析式有三种形式(1)一般式：__________________________．(2)顶点式：___________________________，顶点_______．(3)两根式____________________________，x1，x2为二次函数图象与x轴两个交点的横坐标．4．二次函数的图象及其性质f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)(h，k)f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)1．若一次函数y＝kx＋b在(－∞，＋∞)上

3、是减函数，则点(k，)b)在直角坐标平面的(A．上半平面B．下半平面C．左半平面D．右半平面C2．函数f(x)＝2x2－6x＋1在区间[－1,1]上的最小值是()A．－9B．－72C．－3D．－13．已知：函数f(x)＝x2＋4(1－a)x＋1在[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是_______.Ca≤324．将抛物线y＝2(x＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线为__________，其顶点坐标为________．＋bx＋c在(－∞，0)上的单调性为_________．单调递增y＝2x2－1(0，－1)考点1二次函数的值域例1：

4、根据函数单调性求下列函数的值域．(1)f(x)＝x2＋4x－1，x∈[－4，－3]；(2)f(x)＝－2x2－x＋4，x∈[－3，－1]；(3)f(x)＝2x2－4x－1，x∈(－1,3)；12(4)f(x)＝－—x2－x－1，x∈[－4,0]．求二次函数在某个区间的最值，最容易出现的错误就是直接代两头(将两端点代入)，当然这样做，有时答案也对，那是因为在该区间函数刚好单调，这纯属巧合．求二次函数在某个区间的最值，应该配方，找到对称轴和顶点，结合图形求解．【互动探究】1．若函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值为3，最小值为2，则m的取值范围是_

5、_______．解析：y＝(x＋1)2＋2是以直线x＝1为对称轴开口向上、其最小值为2的抛物线，又∵f(0)＝3，结合图象易得，2≥m≥1，∴m的取值范围是[1,2].[1,2]考点2含参数问题的讨论的值．“区间固定对称轴动”以及“对称轴固定区间动”是二次函数中分类讨论的最基本的两种题型，应引起足够的【互动探究】答案：D考点3二次函数的综合应用(1)若f(－1)＝0且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x∈[－3,3]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围；(3)设m>0，n<0且m＋n>0，a

6、>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)＋F(n)>0.当x>0时，－x<0，F(－x)＝－f(－x)＝－f(x)＝－F(x)．当x<0时，－x>0，F(－x)＝f(－x)＝f(x)＝－F(x)．∴F(x)是奇函数且F(x)在(0，＋∞)上为增函数．由m>0，n<0，m＋n>0，知m>－n>0，则F(m)>F(－n)．∴F(m)>－F(n)．即F(m)＋F(n)>0.【互动探究】3．已知函数f(x)＝－x2＋kx在[2,4]上是单调函数，则实数k的取值范围为_______________.k≤4或k≥8思想与方法2．运用分类讨论的思想探讨二次函数的最值例题：已

7、知二次函数f(x)＝x2－16x＋q＋3.(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q的取值范围；(2)问是否存在常数t(t≥0)，当x∈[t,10]时，f(x)的值域为区间D，且区间D的长度为12－t(视区间[a，b]的长度为b－a)．解析：(1)∵f(x)＝x2－16x＋q＋3的对称轴是x＝8，∴f(x)在区间[－1,1]上是减函数．函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有：(2)∵0≤t<10，f(x)在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x＝8.①当0≤t≤6时，在区间[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小，∴

8、f(t)－f(8)＝12－t，即t2－15t＋52＝