第15章___结构稳定计算

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1、第15章结构的稳定计算§15-1两类稳定问题概述§15-2两类稳定问题计算简例§15-3有限自由度体系的稳定——静力法和能量法§15-4无限自由度体系的稳定——静力法§15-5无限自由度体系的稳定——能量法§15-6无限自由度体系稳定的常微分方程求解器法§15-7刚架的稳定矩阵位移法§15-8组合杆的稳定§15-9拱的稳定§15-10考虑纵向力对横向荷载影响的二阶分析§15-11用求解器求临界荷载和失稳形态（略）§15-12小结稳定平衡状态：受到轻微干扰偏离原来位置，在干扰消失后，能回到原来的平衡位置。不稳定平衡状态：受到轻微干扰偏离原来位置，在干扰消失后，继续

2、偏离。中性平衡状态：由稳定平衡到不稳定平衡过渡的中间状态。失稳：随着荷载的逐渐增大，结构的原始平衡位置可能有稳定平衡状态转化为不稳定平衡状态。1分支点失稳FP1Pcr时，压杆可能处于直线的平衡状态。曲线的平衡状态。分支点：两条平衡路径的交点。2极值点失稳在荷载极值点处，平衡路径由稳定平衡变为不稳定平衡。特征：平衡形式不出现分支现象。（1）按大挠度理论倾斜位置的平衡条件为§15-2两类稳定问题计算简例1单自由度完善体系的分支点失稳考虑得第一个解：第二个解：A点为分支点。路径Ⅱ的平衡是不稳定平衡。稳定验算时，通常考虑初始

3、缺陷，按不完善体系进行。（2）按小挠度理论若则倾斜位置的平衡条件为得路径Ⅱ的平衡是随遇平衡。★小挠度理论能够给出临界荷载的正确结果，不能反映倾角较大时，平衡路径Ⅱ的下降趋势。（1）按大挠度理论平衡条件为2单自由度非完整体系的极值点失稳解得由得解得非完善体系的失稳形式是极值失稳。（2）按小挠度理论若得平衡条件为解得与大挠度理论相比，对于非完整体系，小挠度理论未能给出临界荷载会逐渐减小的结论■一般来说，完善体系是分支点失稳，非完善体系是极值点失稳。■分支点失稳的特征是在交叉点出现平衡形式的二重性。■极值点失稳形式的特征是虽然只存在一个平衡路径，但平衡路径上出现极值点

4、。■结构稳定问题只有根据大挠度理论才能得出精确结论。■小挠度理论在分支点失稳问题中通常能得出临界荷载的正确值。3几点认识确定临界荷载的方法静力法：根据临界状态的静力特征提出的方法。能量法：根据临界状态的能量特征提出的方法。§15-3有限自由度体系的稳定——静力法和能量法在原始平衡路径之外寻找新的平衡路径，确定二者的交叉点，求出临界荷载。新平衡位置的平衡条件为考虑得1静力法在原始平衡路径之外寻找新的平衡路径，应用新平衡状态的势能驻值条件，求出临界荷载。弹簧应变能为荷载势能为体系的势能为2能量法应用势能驻值条件：得取非零解，得讨论势能是位移θ的二次抛物线■临界状态的

5、能量特征：势能为驻值，且位移有非零解。■FPk/l势能EP恒为负，体系在原始平衡状态时，势能为极大。原始平衡状态是不稳定的。例15-1试用两种方法求图示体系的临界荷载FPcr。解(1)静力法变形状态的平衡条件为即由得两个特征值最小的特征值为临界荷载将代入变形状态的平衡方程，得将代入变形状态的平衡方程，得特征向量特征向量（2）能量法D点的水平位移为弹性支座的应变能为荷载势能为体系的势能为应用势能驻值条件得★势能驻值

6、条件等价于位移表示的平衡方程。能量法求多自由度体系临界荷载FPcr的步骤：（1）写出势能表达式，建立势能驻值条件。（2）应用位移有非零解的条件，得出特征方程，求出荷载的特征值FPi。（3）FPcr=min[FPi]。讨论势能EP的正定性序号FP特性（1）FP＜kl/3正定（2）FP=kl/3半正定（3）kl/3＜FP＜kl不定（4）FP=kl半负定（5）FP＞kl负定§15-4无限自由度体系的稳定——静力法与有限自由度体系的区别：平衡方程是微分方程弹性曲线的微分方程改写为其中解引入边界条件，得非零位移条件展开，得例15-2试求图示排架的临界荷载和柱AB的计算长度

7、。解在临界状态下，弹性曲线的微分方程为弹性支座的刚度系数并可改写为其中上式的解为引入边界条件，得讨论（1）I2=0，k=0因EI1为有限值，故方程最小根为计算长度为（2）I2=∞，k=∞方程最小根为计算长度为（3）若I2=I1，k=3EI1/l3计算长度为用试算法求得例15-3试求图示阶形柱的特征方程。解弹性曲线微分方程改写为式中解为引入边界条件，由非零解条件，得若则§15-5无限自由度体系的稳定——能量法令压杆的变形曲线为弯曲应变能为以图示体系为例说明与FP相应的位移荷载势能为体系的势能为由势能驻值条件，得令则矩阵形式为简写成由非零解条件，得最小根即为临界荷载

8、例15－４试用能量法求图