高中数学第3章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系（第2课时）零点的存在性及其近似值的求法学案新人教B版

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1、第2课时　零点的存在性及其近似值的求法学习目标核心素养1.掌握函数零点的存在性定理，并会判断函数零点的个数.(重点)2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握二分法是求函数零点近似解的步骤．(难点)3．理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题．(重点、难点)1.通过存在性定理的学习，培养逻辑推理的素养．2．通过二分法的学习，提升数据分析，数学建模的学科素养．3．理解函数与方程之间的联系，提升数学抽象的学科素养.1．函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)＜0(即

2、在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间[a，b]中至少有一个零点，即∃x0∈[a，b]，f(x0)＝0.2．二分法的定义(1)二分法的条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0.(2)二分法的过程：通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法，称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，也可以用二分法求方程的近似解．3．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f(x)在[a，b]上的零点近似值的步骤是：第一步　检查

3、b－

4、a

5、＜2ε是否成立，如果成立，取x1＝，计算结束；如果不成立，转到第二步．第二步　计算区间[a，b]的中点对应的函数值，若f＝0，取x1＝，计算结束；若f≠0，转到第三步．第三步　若f(a)f＜0，将的值赋给b，回到第一步；若ff(b)＜0，将的值赋给a，回到第一步．1．下列函数不宜用二分法求零点的是(　　)A．f(x)＝x3－1　　　　　B．f(x)＝lnx＋3C．f(x)＝x2＋2x＋2D．f(x)＝－x2＋4x－1C　[因为f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．]2．若函数f(x)在区间[

6、a，b]上为单调函数，且图像是连续不断的曲线，则下列说法中正确的是(　　)A．函数f(x)在区间[a，b]上不可能有零点B．函数f(x)在区间[a，b]上一定有零点C．若函数f(x)在区间[a，b]上有零点，则必有f(a)·f(b)＜0D．若函数f(x)在区间[a，b]上没有零点，则必有f(a)·f(b)＞0D　[函数f(x)在区间[a，b]上为单调函数，如果f(a)·f(b)＜0，可知函数在(a，b)上有一个零点，如果f(a)·f(b)＞0，可知函数在[a，b]上没有零点，所以函数f(x)在区间[a，b]上可能没有零点，也可能有零点，所以A不

7、正确；函数f(x)在区间[a，b]上可能有零点，也可能没有零点；所以B不正确；若函数f(x)在区间[a，b]上有零点，则可能f(a)·f(b)＜0，也可能f(a)·f(b)＝0所以C不正确；若函数f(x)在区间[a，b]上没有零点，则必有f(a)·f(b)＞0，正确；故选D.]3．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是(　　)A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关B　[依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]4．若函数f(x)的图像是连续不断的，且f(0)

8、>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列命题正确的是________．①函数f(x)在区间(0,1)内有零点；②函数f(x)在区间(1,2)内有零点；③函数f(x)在区间(0,2)内有零点；④函数f(x)在区间(0,4)内有零点．④　[∵f(0)>0，而由f(1)·f(2)·f(4)<0，知f(1)，f(2)，f(4)中至少有一个小于0.∴(0,4)上有零点．]判断函数零点所在的区间【例1】　求证：方程x4－4x－2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．[证明]　设f(x)＝x4－4x－2，其图像是连续曲线．因为f(－1)＝3＞0，f

9、(0)＝－2＜0，f(2)＝6＞0，所以方程在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．一般而言，判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是(　　)A．若f(a)f(b)＞0，则不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0B．若f(a)f(b)＜0，则存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0C．若f(a

10、)f(b)＞0，则有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0D．若f(a)f(b)＜0，则有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0C　[对于A