2019_2020学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的数乘运算练习（含解析）新人教A版

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1、3.1.2空间向量的数乘运算[学生用书P133(单独成册)][A　基础达标]1．设a，b是不共线的两个向量，λ，μ∈R，且λa＋μb＝0，则(　　)A．λ＝μ＝0　　　　　　B．a＝b＝0C．λ＝0，b＝0D．μ＝0，a＝0解析：选A.因为a，b不共线，所以a，b均为非零向量，又因为λa＋μb＝0，所以λ＝μ＝0.2．已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则＋(＋)等于(　　)A.　　B．C.　　D．解析：选A.＋(＋)＝＋×(2)＝＋＝.3．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D解析：

2、选A.因为＝a＋2b.＝＋＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2，所以∥，由于与有一个公共点B，所以A，B，D三点共线．4．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(　　)A.＝3－2－B.＋＋＋＝0C.＋＋＝0D.＝－＋解析：选C.因为＋＋＝0，所以＝－－，所以M与A，B，C必共面．5．给出下列命题：①若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0；②

3、a

4、－

5、b

6、＝

7、a＋b

8、是a，b共线的充要条件；③若，共线，则AB∥CD；④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．其中不正确命题的个数是(　　)A．1　　　B．2C．3　　　D．

9、4解析：选C.显然①正确；若a，b共线，则

10、a

11、＋

12、b

13、＝

14、a＋b

15、或

16、a＋b

17、＝

18、

19、a

20、－

21、b

22、

23、，故②错误；若，共线，则直线AB，CD可能重合，故③错误；只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故④错误．故选C.6．化简：(a＋2b－3c)＋5(a－b＋c)－3(a－2b＋c)＝________．解析：原式＝(＋5×－3)a＋(×2－5×＋3×2)b＋(－3×＋5×－3)c＝a＋b－c.答案：a＋b－c7．在三棱锥ABCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则化简＋－－的结果为________．解析：如图，延长DE交边BC于点F，则＋＝，＋＝＋＝，故＋－－＝0.答案：08．已知

24、A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为________．解析：因为A，B，C三点共线，所以存在唯一实数k使＝k，即－＝k(－)，所以(k－1)＋－k＝0.又λ＋m＋n＝0，令λ＝k－1，m＝1，n＝－k，则λ＋m＋n＝0.答案：09.如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，求x，y的值．解：因为＝＋＋＝－＋－－＝－＋＝－＋(＋)＝－＋(＋)＝－＋＋(－)＝－＋＋，所以x＝，y＝－.10．在长方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，点N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：与，共面．证

25、明：因为＝－，＝＋＝－，＝＝(＋)，所以＝－＝(＋)－＝(－)＋＝＋.所以与，共面．[B　能力提升]11．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，有6＝＋2＋3，则(　　)A．O，A，B，C四点共面B．P，A，B，C四点共面C．O，P，B，C四点共面D．O，P，A，B，C五点共面解析：选B.由6＝＋2＋3，得－＝2(－)＋3(－)，即＝2＋3，故，，共面，又它们有公共点P，因此，P，A，B，C四点共面．12．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由＝＋＋λ确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________．解析：根据P，A，B，C四点共面的条件，知存在实数x，y，z，使得

26、＝x＋y＋z成立，其中x＋y＋z＝1，于是＋＋λ＝1，所以λ＝.答案：13．在平行六面体ABCDEFGH中，已知M，N，R分别是AB，AD，AE上的点，且AM＝MB，＝，AR＝2RE，求平面MNR截体对角线AG所得线段AP与PG的比．解：如图，设＝m，因为＝＋＋＝2＋3＋，所以＝2m＋3m＋m.由于P，M，R，N四点共面，所以2m＋3m＋m＝1，从而得m＝，即＝，所以＝.14.(选做题)如图，已知OE是平行六面体OADBCFEG的体对角线，点M是△ABC的重心，求证：点M在直线OE上．证明：如图，连接AM并延长交BC于点H，因为M是△ABC的重心，所以H为BC的中点，所以＝(＋)．所以＝＝(＋

27、)＝[(－)＋(－)]＝＋－.所以＝＋＝(＋＋)．又因为＝＋＋＝＋＋，所以＝，所以点M在直线OE上．