高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的数乘运算学案含解析

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1、3．1.2　空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算[提出问题]作向量＝a＋a＋a，＝(－a)＋(－a)＋(－a)(a≠0)．问题1：的模是a的模的几倍？提示：3倍．问题2：的方向与a的方向一致吗？提示：一致．问题3：

2、

3、是

4、a

5、的几倍？与a的方向有怎样的关系？提示：3倍，相反．[导入新知]定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘几何意义λ＞0λa与向量a的方向相同λa的长度是a的长度的

6、λ

7、倍λ＜0λa与向量a的方向相反λ＝0λa＝0，其方向是任意的运算律分配律λ(a＋b)＝λa＋λb结合律λ(μa)＝(λμ)a[化解疑难]对空间向量数乘运算的理解(

8、1)任何实数与向量的积仍是一个向量，当λ＝0时，λa＝0.(2)向量数乘运算满足以下运算律：λ(μa)＝λμa，λ(a＋b)＝λa＋λb.(3)运算律中是实数与向量的乘积，不是向量与向量的乘法运算.14共线、共面向量[提出问题]空间中有向量a，b，c(均为非零向量)．问题1：向量a与b共线的条件是什么？提示：存在唯一实数λ，使a＝λb.问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：一定；不一定．问题3：空间两非零向量a，b共面，能否推出a＝λb(λ∈R)?提示：不能．[导入新知]共线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线

9、向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb推论共线(平行)向量共面向量如果l为经过点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，①其中a叫做直线l的方向向量，如图所示．若在l上取＝a，则①式可化为＝＋t如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y，或对空间任意一点O来说，有＝＋x＋y14[化解疑难]

10、对共线、共面向量的理解(1)共面向量不具有传递性．(2)共线向量定理及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据．定理中的条件a≠0不可遗漏．(3)直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．(4)空间任意两个向量总是共面的，空间任意三个向量可能共面，也可能不共面．(5)向量p与a，b共面的充要条件是在a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立．空间向量的线性运算[例1]　已知正四棱锥PABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值．(1)＝＋y＋z；(2)＝x＋y＋.[解]　如图．(1)∵＝－＝－

11、(＋)＝－－，∴y＝z＝－.(2)∵O为AC的中点，Q为CD的中点，∴＋＝2，＋＝2，14∴＝2－，＝2－，∴＝2－2＋，∴x＝2，y＝－2.[类题通法]利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法．一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的．应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，一定要熟练掌握．[活学活用]如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点．(1)化简：－－；(2)设E是棱DD1上的点，且＝，若＝x＋y＋z，试求实数x，y，z的值．解：(1)原式＝－(＋)＝－＝.(2)＝－＝(＋)－－＝－－，∴x＝，y

12、＝－，z＝－.空间向量共线问题[例2]　如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．[解]　因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形，所以＝＋＋＝＋＋.又因为＝＋＋＋＝－＋－－，14以上两式相加得＝2，所以∥，即与共线．[类题通法](1)判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb成立，同时要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简得出a＝λb，从而得出a∥b.(2)当两个空间向量共线时，即存在实数λ，使得a＝λb成立，既可以用于证明，也可以用待定系数法求参数的值．[

13、活学活用]如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E在A1D1上，且＝2，点F在对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线．证明：设＝a，＝b，＝c.∵＝2，＝，∴＝，＝，∴＝＝b，＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c.∴＝－＝a－b－c＝.又∵＝＋＋＝－b－c＋a14＝a－b－c，∴＝.又∵EF∩EB＝E，∴E，F，B三点共线.空间向量共面问题[例3]　已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足＝＋＋.(1)判断，，三个向量是否共