第3章 空间向量与立体几何 §3.1.2　空间向量的数乘运算

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1、§3．1.2　空间向量的数乘运算知识点一空间向量的运算已知ABCD—A′B′C′D′是平行六面体.(1)化简(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC′B′对角线BC′上的分点,设,试求α,β,γ的值.解(1)方法一取AA′的中点为E,则又取F为D′C′的一个三等分点(D′F=D′C′),则D′F=∴++=++=方法二取AB的三等分点P使得,取CC′的中点Q,则++=(2)===∴α＝，β＝，γ＝.【反思感悟】化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时可转化为加法，也可按减法进行运算．本题

2、第一问是开放式的表达式，形式不唯一，有多种解法．如图所示,平行六面体A1B1C1D1-ABCD，M分成的比为，N分成的比为，N分成的比为2，设＝a，＝b，＝c，试用a、b、c表示，解=＝－(a＋b)＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c知识点二共线问题设空间四点O，A，B，P满足其中m+n=1，则（）A．点P一定在直线AB上B．点P一定不在直线AB上C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上D.与与的方向一定相同答案　A解析已知m+n=1，则因为≠0.所以和共线，即点A，P，B共线，故选A.【反思感悟】（1）考察点P是否在直线AB

3、上，只需考察与是否共线；（2）解决本题的关键是利用条件m+n=1把证明三点共线问题转化为证明与是否共线.已知A、B、P三点共线，O为空间任意一点，求α+β的值.解∵A、B、P三点共线，由共线向量知，存在实数t，使=t由=，=代入得：；又由已知，∴α＝1－t，β＝t，∴α＋β＝1.知识点三共面问题已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH.证明(1)由已知得EF綊HG，∴∵,不共线，∴共面且有公共点G，∴E，F，G，H四点

4、共面.（2）∵与不共线，∴，，共面．由于BD不在平面EFGH内，所以BD∥平面EFGH.【反思感悟】利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练的进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．　用向量法证明：空间四边形ABCD的四边中点M，N，P，Q共面．证明△AMQ中,=△CNP中,=所以,所以M,N,P,Q四点共面.课堂小结：1．向量共线的充要条件及其应用(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们

5、说a∥b时，也具有同样的意义．(2)“共线”这个概念具有自反性a∥a，也具有对称性，即若a∥b，则b∥a.(3)如果应用上述结论判断a，b所在的直线平行，还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上．＝λ或＝μ即可．也可用“对空间任意一点O，有＝t＋(1－t)”来证明三点共线．2．向量共面的充要条件的理解＝x＋y.满足这个关系式的点P都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断

6、三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具．另外，在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任意一点O，有＝(1－t)＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P、A、B、C四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．课时作业一、选择题1．下列命题中是真命题的是()A．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B．若

7、a

8、＝

9、b

10、，则a，b的长度相等而方向相同或相反C.若向量满足

11、

12、>

13、

14、，且与同向，则>D.若两个非零向量与满足+=0，则∥答案D解析A错．因

15、为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面．B错．因为

16、a

17、＝

18、b

19、仅表示a与b的模相等，与方向无关．C错.因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有>这种写法．D．对.∵+=0,∴=，∴与共线，故∥，正确.2．满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是()A．＋＝B．－＝C．＝D．

20、

21、＝

22、

23、答案C3．在下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是()A．＝2－－B．＝＋＋C．＋＋＝0D．＋＋＋＝0答案　C解析若有＝x＋y，则M与点A、B、C共面，或者＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1，则M

24、与点A、B、C共面，A、B、D三项不满足x＋y＋z＝1，C项满足＝x＋y，故选C.4．已知向量a与b不共线，则a，b，c共面是存在两个非