2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线及其标准方程练习（含解析）新人教A版

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1、2.4.1抛物线及其标准方程[A　基础达标]1．动点P(x，y)到点F(3，0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是(　　)A．椭圆　　　　　　　　B．双曲线C．双曲线的一支D．抛物线解析：选D．依题意可知动点P(x，y)在直线右侧，设P到直线x＋2＝0的距离为d，则

2、PF

3、＝d＋1，所以动点P到F(3，0)的距离与到x＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线．故选D．2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p＝(　　)A．2B．4C．6D．8解析：选B．因为a2＝6，b2＝2，所以c2＝a2－b2＝4，c＝2，即椭圆的右焦点为(2，0)，所以抛物线

4、y2＝2px(p>0)的焦点为(2，0)，所以＝2，p＝4.3．经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为(　　)A．y2＝x或x2＝－8yB．y2＝x或y2＝8xC．y2＝－8xD．x2＝－8y解析：选A．因为点P在第四象限，所以抛物线开口向右或向下．当开口向右时，设抛物线方程为y2＝2p1x(p1>0)，则(－2)2＝8p1，所以p1＝，所以抛物线方程为y2＝x.当开口向下时，设抛物线方程为x2＝－2p2y(p2>0)，则42＝4p2，p2＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y.4．已知P(8，a)在抛物线y2＝4px(p>0)上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为(　

5、　)A．2　　　　B．4　　　　C．8　　　　D．16解析：选B．由题意可知准线方程为x＝－p，所以8＋p＝10，所以p＝2.所以焦点到准线的距离为2p＝4.5．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是(　　)解析：选D．a2x2＋b2y2＝1其标准方程为＋＝1，因为a>b>0，所以<，表示焦点在y轴上的椭圆；ax＋by2＝0其标准方程为y2＝－x，表示焦点在x的负半轴的抛物线．6．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p＝________．解析：由题意知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆

6、心为(3，0)，半径为4，抛物线的准线为x＝－，由题意知3＋＝4，所以p＝2.答案：27．在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．解析：由方程y2＝－12x，知焦点F(－3，0)，准线l：x＝3.设所求点为P(x，y)，则由定义知

7、PF

8、＝3－x.又

9、PF

10、＝9，所以3－x＝9，x＝－6，代入y2＝－12x，得y＝±6.所以所求点的坐标为(－6，6)，(－6，－6)．答案：(－6，6)，(－6，－6)8．若抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点的横坐标是________．解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)

11、，由抛物线定义知点A到焦点F的距离等于点A到准线的距离，即

12、AF

13、＝x1＋＝x1＋.同理

14、BF

15、＝x2＋＝x2＋.故

16、AF

17、＋

18、BF

19、＝x1＋x2＋1＝5，即x1＋x2＝4，得＝2，故线段AB的中点的横坐标是2.答案：29．根据下列条件求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，

20、AF

21、＝5.解：(1)由双曲线方程得－＝1，其左顶点为(－3，0)．因此抛物线的焦点为(－3，0)．设其标准方程为y2＝－2px(p>0)，则＝3.所以p＝6.因此抛物线的标准方程为y2＝－12x.(2)当

22、抛物线开口向右时，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，A(x0，－3)，依题意得解得p＝1，或p＝9.当抛物线开口向左时，设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，A(x0，－3)，依题意得解得p＝1或p＝9.综上所述，所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.10.如图是抛物线形拱桥，设水面宽

23、AB

24、＝18米，拱顶距离水面8米，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF.若

25、CD

26、＝9米，那么

27、DE

28、不超过多少米才能使货船通过拱桥？解：如图所示，以点O为原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B(9，－8)

29、．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．因为B点在抛物线上，所以81＝－2p·(－8)，所以p＝，所以抛物线的方程为x2＝－y.当x＝时，y＝－2，即

30、DE

31、＝8－2＝6.所以

32、DE

33、不超过6米才能使货船通过拱桥．[B　能力提升]11．(2019·德州检测)已知O为坐标原点，A(0，2)，抛物线C：y2＝mx(m>0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若

34、FM

35、∶

36、MN

37、＝1∶，则△OFN的面积为(　　)A．2B．2C．4D．2解析：选A．抛物线C：y2＝mx的